「オリンピック」と きくと、はしったり、およいだり する すがたを おもいうかべますよね。でも 世界には、うんどうぐつの かわりに、けしゴムの ついた えんぴつだけを もって のぞむ 「オリンピック」が あります。「国さいすうがくオリンピック」、りゃくして IMOです［1］。

2日間、まいにち 朝から 4時間はん、3もんずつ、あわせて 6もんの もんだいを ときます。けいさんきは つかえません。たよれるのは、あたまの 中と、かみと えんぴつだけです［1］。

せいせきの よい 人から じゅんに、出た 人の やく 半分が、金・銀・どうの メダルを もらえます。金・銀・どうの 人数は、だいたい 1：2：3の わりあいに なって います［1］。

「オリンピック」と聞いて思い浮かべるのは、100メートル走や、水しぶきをあげる競泳でしょう。でも世界には、運動靴の代わりに、消しゴムのついた鉛筆だけを持って臨む「オリンピック」があります。「国際数学オリンピック」、略してIMOです［1］。

競技は2日間です。1日目も2日目も、朝から4時間半、3問ずつ合計6問の数学の問題を解きます。電卓は使えません。頼れるのは頭の中と、紙と鉛筆だけです［1］。

成績のいい人から順に、出場者のおよそ半分がメダルをもらえます。金・銀・銅の人数の割合は1：2：3で、銀は金のおよそ2倍、銅は金のおよそ3倍の人数がもらえる仕組みになっています［1］。

「オリンピック」という名前から、陸上競技や競泳を連想する人は多いだろう。しかし世界には、身体を動かさず、紙と鉛筆だけで競う「オリンピック」が存在する。国際数学オリンピック(International Mathematical Olympiad、略称IMO)である［1］。

では、その競技はどう進むのか。各国代表は2日間、毎日4時間半をかけて3問ずつ、合計6問に取り組む。電卓は使えないので、頼れるのは自分の頭と、紙・鉛筆だけである。各問題は7点満点だから、6問そろえた満点は42点になる［1］。

そして成績上位からおよそ半数の参加者にメダルが与えられ、金・銀・銅の人数比はおよそ1：2：3に定められている。ただし、採点されるのは単なる正誤ではない。答えに至る論理の筋道、つまり証明の完成度である。そこが、この競技の最大の特徴だ［1］。

はじめての 国さいすうがくオリンピックは、1959年、ルーマニアと いう 国で ひらかれました。あつまったのは、7つの 国、52人だけでした［2］。

その ころ 世界は、アメリカの なかまと、ソビエトれんぽうの なかまに わかれて、にらみあって いた 時だいでした。さいしょの 7つの 国は、みんな ソビエトがわの 国でした［2］。

そこから すこしずつ なかまが ふえて、いまでは 117の 国と ちいきが さんかする、大きな 大会に なって います［2］。

最初の国際数学オリンピックは、1959年、ルーマニアで開かれました。集まったのはハンガリー・ブルガリア・ポーランド・チェコスロバキア・東ドイツ・ソビエト連邦を合わせた7カ国、52人の選手だけでした［2］。

このころ世界は、アメリカを中心とする国々と、ソビエト連邦を中心とする国々に分かれて、にらみ合う「冷戦」の時代でした。最初の7カ国は、すべてソビエト連邦側の国でした［2］。

そこから少しずつ参加する国が増え、アメリカは1978年、中国は1988年に加わりました。今では117の国と地域が参加する、世界規模の大会になっています［2］。

この競技は、いつ、どんな顔ぶれで始まったのか。第1回は1959年、ルーマニアがハンガリー・ブルガリア・ポーランド・チェコスロバキア・東ドイツ・ソビエト連邦を招待するかたちで開かれた。参加はこの7カ国、選手52人にとどまった［2］。

初めの顔ぶれは東側の国々で、時代は冷戦のさなかだった。アメリカを中心とする西側陣営と、ソビエト連邦を中心とする東側陣営が対立しており、最初の参加国はすべて東側陣営に属していた［2］。

ところが、その後は西側諸国も加わるようになった。アメリカは1978年、中国は1988年の初参加である。こうして参加国・地域は1990年の54から、2009年に104、2019年に112と増え続け、2026年には117に達している［2］。

IMOの もんだいは、けいさんの こたえを 出すだけでは おわりません。「なぜ そう なるのか」を、じぶんの ことばで せつめいしなくては いけません［3］。

たとえば さいしょの 大会(1959年)に 出た もんだいは、「ある 分すうは、どんな しぜんすう(1、2、3…)を 入れても、これ いじょう やくぶん(わり算で かんたんな 分すうに すること)が できない」ことを たしかめる もんだいでした。1つや 2つの 数で ためすだけでは たりません。どの しぜんすうでも なりたつ りゆうを、じぶんで 見つけなくては いけません［3］。

この もんだいには、おどろくほど みじかい とき方が あります。すうがくオリンピックの もんだいは、なぞなぞと おなじで、うまい 見方を 見つけた しゅんかんに、すっと とけて しまう ことが あります。ただし ほんとうは、なぞなぞの ように おもいつきの こたえを 言うだけでは だめで、「なぜ そう なるのか」を、だれもが なっとくする ように せつめいしなくては なりません。

IMOの問題は、計算の答えを出すだけでは終わりません。「なぜそうなるのか」を、筋道立てて自分で証明しなければなりません［3］。

第1回大会(1959年)に出た問題の1つは、「(21n+4)/(14n+3)という分数は、nにどんな整数を入れても、それ以上簡単にできない(約分できない)ことを証明せよ」というものでした。整数nはどこまでも続くので、1個や2個を試しただけでは正解になりません。どの整数を入れても成り立つ理由を、論理で示す必要があります［3］。

この問題には、驚くほど短い証明があります。3×(14n+3)から2×(21n+4)を引くと、答えはいつも1になります。1しか共通の約数を持たない2つの数は、それ以上約分できません――この性質を使えば、どんなnでも一発で証明できてしまうのです［3］。

「証明が採点される」とは、具体的にどういうことか。IMOの問題は選択式ではなく、すべて記述式の証明問題である。数値が正しいかどうかよりも、そこに至る論理の正しさと厳密さが見られる［1］。

たとえば第1回大会(1959年)の第1問は、「すべての自然数nについて、分数(21n+4)/(14n+3)が既約分数であることを証明せよ」というものだった。いくつかのnで確かめただけでは証明にならない。任意のnで成り立つことを、論理で示す必要があるからだ［3］。

しかも、この問題にはユークリッドの互除法の考え方を使った短い証明が知られている。3(14n+3)－2(21n+4)＝1という関係から、21n+4と14n+3の最大公約数が1であること、つまり既約分数であることが一発で導かれるのだ。問題には、式や数の性質、図形、場合の数など、いろいろな分野が出てくる。どの問題も、高校数学の公式を当てはめるだけでは解けない発想を求める［3］。

日本から IMOに 出る 6人は、こうこうせいだけとは かぎりません。じょうけんを みたせば、ちゅうがくせいでも ちょうせんできます［4］。

まず 11月に、「日本すうがくオリンピック」(JMO)の よせんが あります。こたえだけを 書く 12もんの テストです。ここで 上いに 入ると、2月に、りゆうを きちんと 書く 「本せん」に すすめます［4］。

本せんで よい せいせきを とった 人は、3月に あつまって いっしょに べんきょうする 「代表せんこう合しゅく」に よばれます。そこから、さいごに 6人が えらばれて、日本代表に なります［4］。

日本代表としてIMOに出る6人は、高校生だけとは限りません。条件を満たせば、中学生でも挑戦できます［4］。

まず11月に、「日本数学オリンピック」(JMO)の予選があります。3時間で、答えだけを書く12問のテストです。ここで上位に入ると、2月11日に行われる、証明をきちんと書く「本選」に進めます［4］。

本選でよい成績を取った、高校2年生以下の受賞者(およそ20人)は、3月下旬に開かれる「代表選考合宿」に招かれます。中学生以下を対象とする大会の上位者も合わせて招かれ、そこから最終的に6人が選ばれて、日本代表になります［4］。

日本代表の6名は、どうやって選ばれるのか。じつは高校生に限らない。参加資格は「大学教育を受けていない20歳未満」なので、条件を満たせば中学生も挑戦できる［4］。

選考は3段階に分かれる。まず11月、各都道府県で「日本数学オリンピック」(JMO)予選が実施される。3時間で12問、答えのみを記入する形式である。ここを通ると、2月11日の「本選」に進める。本選は4時間で5問、すべて証明を要求する記述式であり、形式そのものがIMO本大会の縮図になっている［4］。

そして最後の関門が合宿である。本選で入賞した高校2年生以下の受賞者(約20名)と、中学生以下を対象とする日本ジュニア数学オリンピック(JJMO)の上位入賞者が、3月下旬の代表選考合宿に招集される。そこでの成績にもとづき、最終的に6名がIMO日本代表として選抜される［4］。

日本が はじめて IMOに 出たのは、1990年、中国の 北京でした［5］。

それから 33年 たった 2023年、こんどは 日本の 千葉けんで、IMOが ひらかれました。この 年、日本の 6人は ぜんいん メダルを とり、112の 国・ちいきの 中で 6いに なりました［5］。

2025年には、さらに じゅんいが 上がり、110の 国・ちいきの 中で 4いに なりました。金メダルを とった 1人は、6もん すべてで まんてんの 42点を とり、世界で 1いタイに なりました［5］。

日本が初めてIMOに参加したのは、1990年、開催地は中国の北京でした［5］。

それから33年後の2023年、今度は日本の千葉県でIMOが開かれました。この大会で日本の6人は全員メダルを獲得し、112の国・地域の中で6位になりました［5］。

2025年にはさらに順位が上がり、110の国・地域の中で4位になりました。金メダルを取った選手の1人は、6問すべてで満点の42点をたたき出し、世界1位タイになりました［5］。

では、こうして選ばれた日本代表は、世界でどのくらい戦えているのか。日本が初めてIMOに参加したのは、1990年の北京大会である。以来、毎年6名の代表団を派遣し続けている［2］［5］。

その日本が、2023年には20年ぶりに自国開催(千葉県・幕張メッセ)を果たした。112の国・地域が参加したこの大会で、日本代表6名は全員メダルを獲得し、国別順位は6位だった［5］。

さらに2025年のオーストラリア大会では、110の国・地域中4位まで順位を上げた。これは第50回大会(ドイツ大会)に次ぐ好成績である。金メダルを獲得した狩野慧志は、6問すべてで満点となる42点を取り、世界1位タイに輝いた［5］。

オーストラリアの テレンス・タオと いう 男の子は、1988年、12さいから 13さいに なる ころ、いちばん わかい きろくで 金メダルを とりました。この きろくは、いまも やぶられて いません［6］。

おとなに なった タオは、大学の 先生に なり、2006年、すうがくの せかいで もっとも めいよある しょう「フィールズしょう」を もらいました［6］。

ソビエトれんぽうの グリゴリー・ペレルマンと いう 男の子は、1982年、6もん すべてで まんてんを とって 金メダルを とりました［6］。おとなに なった ペレルマンは、100年 ちかく だれも とけなかった すうがくの もんだいを といたのです。でも、もらえる はずだった フィールズしょうも、100万ドルの しょうきんも、じぶんから ことわって しまいました［6］。

オーストラリアの少年、テレンス・タオは1988年、12歳から13歳になるころ、金メダルを獲得しました。これはいまも破られていない、金メダリストの最年少記録です［6］。

大人になったタオは、カリフォルニア大学の数学教授になり、2006年、数学の世界でもっとも名誉ある賞「フィールズ賞」を受賞しました［6］。

ソビエト連邦の少年、グリゴリー・ペレルマンは1982年、16歳で6問すべて満点の42点を取り、金メダルを獲得しました［6］。大人になったペレルマンは、100年近く誰にも解けなかった数学の超難問「ポアンカレ予想」を解き明かしました。ところが2006年、その功績で贈られるはずだったフィールズ賞を辞退します。2010年には、同じ功績に対する100万ドルの賞金も、自分から断ってしまいました［6］。

金メダルを取った少年少女は、そのあとどんな道を歩むのか。オーストラリアのテレンス・タオは、1988年のIMOで12歳から13歳になる時期に金メダルを獲得した。これは現在まで破られていない、金メダリストの最年少記録である［6］。タオは後にカリフォルニア大学ロサンゼルス校の教授となり、2006年、素数の並びに関する研究などが評価されてフィールズ賞を受賞した［6］。

一方、同じ金メダリストでも、道の先は一つではない。ソビエト連邦のグリゴリー・ペレルマンは1982年のIMOで、16歳にして6問全問正解、満点の42点で金メダルを獲得している［6］。ペレルマンは2002年から2003年にかけて、100年近く未解決だった「ポアンカレ予想」を証明する論文を発表した。その功績により2006年にフィールズ賞、2010年には賞金100万ドルのミレニアム賞が贈られることになったが、ペレルマンはいずれも受け取りを拒否した。辞退の理由については、本人の発言や周囲の説明が紹介されているが、ここでは一つに決めて説明できない［6］。

1959年の もんだいを、じぶんでも たしかめて みよう。21×1＋4＝25、14×1＋3＝17。この 2つの 数字を、ほかの 数字で わりきれるか、けいさんして みると おもしろいですよ。

JMOの よせん もんだいは、インターネットで だれでも 見る ことが できます。むずかしいけど、1もんだけ ちょうせんして みよう。

21n+4と14n+3に、n=1、n=2…と数字を入れて計算してみよう。本当に約分できないかどうか、実際に確かめると、証明のありがたみが分かります。

JMOの予選問題は、インターネットで公開されています。答えだけを書く問題なので、1問でも挑戦してみると、IMOの難しさを体感できます。

n=1, 2, 3…と実際に代入して(21n+4)/(14n+3)を計算し、本当に約分できないかどうか手で確かめてみると、証明の意味が実感できる。公益財団法人数学オリンピック財団のサイトでは、JMO予選・本選の過去問が公開されている。1問だけでも取り組んでみると、要求される発想の水準がどれくらい高いか体感できるはずだ。