ある けんきゅうで、テニスボールを れいとうこ、れいぞうこ、オーブンで ひやしたり あたためたりして、おなじ たかさから おとしました。

はずんだ いきおいを あらわす 数は、れいとうこの ボール（マイナス22ど）で 0.447。ふつうの へやの 20どで 0.704。オーブンの 80どで 0.813 でした。

この 数が 1に ちかいほど、よく はずみます。ただし これは ボール1こでの はなしで、どの ボールも おなじとは かぎりません。

2mの高さから落として、スマホで撮る

この実験では、ドアの上部（約2.05mの高さ）からテニスボールを落とし、跳ね返る様子をスマートフォンの動画で調べています。冷凍庫、冷蔵庫、オーブンを使って、-22℃から80℃までの7つの温度にそろえ、各温度で3回ずつ測りました［1］。

結果は、-22℃で0.447、1℃で0.621、5℃で0.629、20℃で0.704、50℃で0.766、70℃で0.801、80℃で0.813でした。温度が上がるほど、よく弾んでいます［1］。

ただしこれは1個のテニスボールでの測定です。ほかのボールでも同じ数字になるとは限りません。

この報告は、ドアの上部（約2.05m）からテニスボールを落とし、スマートフォンの動画で跳ね返りを解析した。冷凍庫・冷蔵庫・オーブンで-22℃〜80℃の7温度をつくり、各温度で3回測定している［1］。

反発係数は、-22℃（251K）で0.447、1℃で0.621、5℃（278K）で0.629、20℃（293K）で0.704、50℃で0.766、70℃で0.801、80℃（353K）で0.813と、温度とともに単調に増えた［1］。ただし1個のボールでの測定で、0.813÷0.447≒1.8という倍率も比の計算値にすぎない。

では、そもそも「反発係数0.447」は、どれほど弾まないことを意味するのか。次の章で、この数字の読み方を確かめる。

この 数は、ぶつかる まえの はやさに くらべて、はねかえった はやさが どれだけか、です。1に ちかいほど よく はずみ、0に ちかいほど はずみません。

たかさで かんがえると、たとえば はんぶんの たかさまで もどる ボールの 数は、0.71 ぐらいです。エネルギーの はんぶんぐらいは、ねつや 音などに かわります。

この 0.71 は、けいさんで 出した 数で、ボールを はかった 数では ありません。

では、れいとうこの ボールは どのくらいでしょう。0.447 は、けいさんすると、おとした たかさの 2わり ほどしか もどらない ことに なります。2mから おとせば 40cm ぐらいです。

速さの比と、高さの比はちがう

反発係数は、跳ね返った直後の速さを、ぶつかる直前の速さで割った数です。1に近いほどよく弾み、0に近いほど弾みません［1］。

ボールを落とした高さと、跳ね返って上がった最高点の高さの比の、平方根が反発係数になります。高さの比そのものではありません。たとえば半分の高さまで戻るなら、反発係数は√0.5≒0.71です。このとき、エネルギーの約半分は、熱や音などになって失われています［1］。

この換算を使うと、-22℃の0.447は高さの比で約0.2（0.447の2乗）、2.05mから落として約41cmです。80℃の0.813は約0.66、約1.35mです。どちらも計算による目安で、実測の高さではありません。

反発係数εは、衝突後の速さ÷衝突前の速さである。落下高h0と跳ね返りの最高点h1が分かれば、速さは高さの平方根に比例するので、ε=√(h1/h0)で求められる。高さの比そのものではない点に注意が要る［1］。

h1/h0=0.5ならε≒0.71（計算値）で、力学的エネルギーの約半分が熱や音に変わって失われたことになる［1］。この関係を前章の値に当てはめると、0.447は高さ比で約0.20、2.05mからなら約41cm、0.813は約0.66で約1.35mである。いずれも換算による目安だ。

では、同じボールで温度を変えるだけで、なぜ係数が変わるのか。まず、中の空気に注目する。

ボールは、ゆかに あたると ぺちゃんと ちぢみます。なかの 空気も ぎゅっと おしちぢめられて、もとに もどろうと ボールを おしかえします。

ふうせんを、てで おさえた ときと おなじです。おした ぶんだけ、手が おしかえされます。

空気は、あたたかいと つよく おしかえす ように なります。ろんぶんの モデルでは、それで ボールが よく はずむと せつめいします［1］。ただし、ゴムの かわりかたも かかわるかもしれません。空気だけで ぜんぶ きまる とは かぎりません。

縮んだ空気が、ボールを押し返す

ボールが地面に当たると、形が縮み、中の空気は押し縮められてエネルギーをたくわえます。それが元に戻るときに、ボールを押し返します［1］。

密閉された空気は、温度が上がると圧力が上がります。理想気体の法則という決まりで、一定の量の気体の圧力は、絶対温度（-273℃を0とした温度）に比例します［1］。冷やしたボールは中の圧力が下がり、あたためたボールは上がります。このモデルでは、あたためたほうが内部の圧力が高く、弾みやすくなると説明します。

論文のモデルは、このテニスボールの測定値と「驚くほどよく合った」と述べています。バスケットボールでも、中の空気の圧力を変えて測った図があり、空気を入れて圧力を上げると反発係数が上がっています（図の軸は約16〜28psiのおおよその範囲です）［1］。

ただし、これは空気の圧力だけを取り出した単純なモデルで、実測の差が圧力だけで決まるとは限りません。ゴムの硬さの変化がどれだけ関わるかは、この資料からは切り分けられません。

ボールが床に衝突して変形すると、内部の気体が圧縮されてエネルギーが蓄えられ、復元時にボールを押し返す［1］。密閉された一定量の気体では、理想気体の法則により、圧力は絶対温度に比例する。20℃（293K）から80℃（353K）へ上がると、圧力は353÷293≒1.2倍（計算値）になる。

論文のモデルは、温度が高いほど内圧が高くなって反発係数が上がると説明し、テニスボールの測定値との一致を「驚くほどよく合った」と評している［1］。バスケットボールでも、内圧を約16〜28psiで変えた測定で、圧力が高いほど反発係数が大きい（図の軸から読んだ概数）［1］。

ただし、このモデルは空気の圧力だけを考えた単純化であり、実測の差が圧力だけで説明しきれるとは限らない。ゴム自体の硬さが温度で変わる寄与は、ここで使った資料からは分離できない。

では、空気の圧力だけがすべてなのか。論文は、意外な実験も報告している。

その ろんぶんでは、テニスボールに 4ミリの あなを あけて、なかの 空気を ぜんぶ ぬきました。すると、へやの おんどでも、まだ はずみました［1］。

ゴムそのものも、ぎゅっと おされると もとに もどろうと するからです。

ただし、もとの たかさまでは もどりません。おされた ボールが もとの かたちに もどりきれない ぶんが、ちからの ロスに なります。

これは かたちの もどりかたを せつめいする ための たとえで、ほんとうの ボールの 数ではありません。6ミリ ちぢんだ ボールが、もどる ときに 4ミリしか のびなければ、もとの たかさには とどきません［5］。

ゴムは、戻るときに損をする

この論文は、テニスボールに直径4mmの穴をあけて、内部の圧力をすべて逃がしました。それでも室温ではボールが弾んだと報告しています。つまり、ゴムの本体もエネルギーをためているのです［1］。

ただし、エネルギーはすべて戻ってくるわけではありません。テニスボールでは、失われるエネルギーの大部分は、ゴムが変形して戻るときの損（ヒステリシス）と、外側のフェルトの繊維どうしの摩擦によるとされています。論文が別の文献を引いて述べていることです［1］。

販売店の解説ページは、たとえ話として、6mm縮んだボールが戻るときに4mmしか伸びなければ、元の高さまで戻らないと説明しています。形が完全には戻らない分が、損になるということです［5］。この数字は説明用の仮の値です。

空気の入ったボールでは、圧縮された空気のおかげで形が早く戻り、ゴムが変形したままになるのを防ぐ、とも説明されています。空気が入っていない「プレッシャーレス」ボールは、かたいゴムで弾ませます［5］。

内部圧力だけでは説明が尽きないことは、次の実験で分かる。論文は、テニスボールに直径4mmの穴をあけて内圧を完全に逃がしても、室温ではなお弾んだと報告している。ゴム本体にも弾性エネルギーが蓄えられているということだ［1］。

一方、エネルギーの損失について、論文は先行研究を引き、テニスボールでは大部分がゴムのヒステリシス（変形と回復の経路が異なり、エネルギーが熱になる現象）とフェルトの繊維間摩擦による、と述べる（二次的な引用）［1］。この損失があるので、反発係数は1にならない。

解説ページの数字を借りれば、約6mm変形したボールが回復時に4mmしか伸びなければ、元の落下高には戻れない（説明用の仮の値）［5］。同じページは、加圧ボールでは圧縮空気が形の復元を早めて高く弾ませ、圧力を持たないボールでは硬いゴムでこれを代替する、と説明する。ただし販売店の解説であり、二次資料として読む必要がある。

ここまでで、弾み方を決める要素が出そろった。では、競技団体はこれをどうやって規則にしているのか。

いろいろな スポーツの ボールは、ルールで「きまった たかさから おとして、このくらい はずむ」と きめられて います。

バスケットボールは、1.8mから おとして、1.035〜1.085m はずむ ように 空気を いれます。はずむ たかさは、おとした たかさの 6わり ほどです［2］。

テニスボールは、2.54mから おとして、1.35〜1.47m はずむ ものが ふつうの ボールです。この きまりは 1925ねんに つくられて、いまも つかわれて います［3］［4］。

たっきゅうの たまは、30.5cmから おとして、25cm ぐらい はずむ きまりです（きまりが あたらしく なると、少し かわります）。8わり ほど はずみます［6］。

はかりかたが スポーツごとに ちがうので、この 数を そのまま くらべる ことは できません。

高さを決めて、跳ね返りを見る

バスケットボールを決めている国際バスケットボール連盟（FIBA）の2026年版の規則（2026年10月1日から適用）では、ボールの下端を約1,800mmの高さから床に落とし、下端が1,035〜1,085mmまで跳ね返る空気圧にします。高さの比は約0.58〜0.60、平方根は約0.76〜0.78です（計算値）［2］。

国際テニス連盟（ITF）の承認試験では、254cm（100インチ）の高さから固くて水平な面に落とし、標準的なボールは135〜147cm（53〜58インチ）跳ね返ることが求められます。この跳ね返りの規則は1925年に決まり、今も使われています。試験所は、真空パイプでボールを決まった高さに保ち、なめらかな花こう岩の上に落として、影を映した映像から高さを測ります［3］［4］。この135〜147cmは2008年版の規則の数字で、遅いボールや高地用ボールでは別の範囲があります。

卓球のボールは、国際卓球連盟（ITTF）の規格で、30.5cmの高さから標準の鋼鉄のブロックに落とし、25cm前後跳ね返るとされています（規則の版で少し違います）。高さの比は約0.8で、バスケットボールより高く戻ります［6］。

ただし測り方（ボールの下端か上端か、落とす面）は競技ごとに違います。数字どうしをそのまま比べるのは、おおまかな目安にとどめてください。

競技団体は、反発係数そのものではなく、「決まった高さから落として跳ね返り高が範囲に入るか」で規則を定める。FIBAの2026年版規則（2026年10月1日発効）は、ボール下端を約1,800mmから落とし、下端が1,035〜1,085mmまで跳ね返る空気圧を求める。高さ比は約0.575〜0.603、その平方根は約0.76〜0.78（いずれも計算値）である［2］。旧版の「上端1,200〜1,400mm」とは基準が違い、混ぜて比べてはならない。

ITFの試験は、254cm（100インチ）から固い水平面に落とし、標準ボールで135〜147cmとする（2008年版規則の表。遅いボール用や高地用は別の範囲）。跳ね返りの規則は1925年に定められ、今も使われている。試験所は真空パイプで落下高を保持し、なめらかな花こう岩に落として影の映像から高さを測る［3］［4］。比は135÷254≒0.53〜147÷254≒0.58だ。

卓球のボールは、ITTFの規格として、30.5cmの高さから標準の鋼鉄ブロックへ落とし、25cm前後（比で約0.8）とされる。版によって数値は少し異なる［6］。

測る基準（下端・上端）や落とす面が競技ごとに異なるので、数字の直接比較は避ける。では、なぜ高さで縛るのか。ITFの資料は、承認試験で不合格になるのは「跳ね返り」と「変形（かたさ）」の試験が最も多く、大きさ・重さの試験は最も少ないと述べる［3］。前の章で見たとおり、跳ね返りは空気の圧力・素材の損失・温度が重なって決まる。それを1つずつ測るのでなく、落とす高さという単純な方法でまとめて確かめているのが、この規則の形である。

いえに ある ボールを、おうちの 人と いっしょに くらべて みましょう。おうちの 人と、おとしても あんぜんな ばしょを えらびます。かべに 目じるしを つけて よい ときだけ つけて、おなじ たかさから、かたい ゆかに おとします。

よこから 見て、どこまで はずんだかを くらべます。れいぞうこに 30ぶん いれた ボールと、ふつうの ボールで やって みると、ちがいが 出るかもしれません。

ボールが しめらないように ふくろに いれます。れいとうこや 火は つかいません。ちがいが 出ない ことも あります。それも ヒントに なります。

家にあるボールを、家の人と一緒に比べてみましょう。まず家の人と、落としても安全な場所を選びます。壁に目印をつけてよい場所なら印をつけ、同じ高さから、固い床に落とします。横から見て、どこまで跳ね返ったかを確かめます。

冷蔵庫に30分入れて冷やしたボールと、部屋に置いたままのボールで試すと、ちがいが出るかもしれません。ボールは袋に入れて濡らさないようにし、冷凍庫や火は使いません。ボールの種類によっては、ちがいが小さいこともあります。

もっと調べたくなったら、論文［1］の温度の表や、各競技団体の規則を読んでみてください。同じ「弾む」でも、競技ごとに測り方が違うことに気づくはずです。

家庭でも、家の人と落としても安全な場所を選び、許可された壁に印をつけて同じ高さから落とし、横から跳ね返り高を比べれば、ITFの試験と同じ発想を体験できる。冷蔵庫に30分入れたボール（袋に入れて濡らさない）と室温のボールで比べるのも一案だ。冷凍庫や火は使わない。ボールの種類によっては差が小さいこともある。

資料としては、arXivの論文［1］が反発係数・温度・内圧を1本で扱い、図表を読みやすい。FIBAの規則［2］とITFの承認試験の資料［3］は、測る基準（下端・上端、落とす面）の書き方に注目して読むと、競技どうしを単純に比べられない理由が見えてくる。販売店の解説ページ［5］は二次資料なので、数字の裏づけには使わないこと。