みなとに とまる 大きな ふねは、ロープで ぐいぐい ひっぱる ちからを うけて います。その ロープの はしを、ふねの うえの ドラムと いう まるい つつに まきつけて います。

ふねの ロープを ドラムに まく ときは、三かいか 四かいが めやすと されて います［3］。すこしの かいすうでも、ふねの ちからを うけとめられるのは、まさつの おかげです。

ロープを 何十かいも まく わけでは ありません。それなのに、どうして 数かいで だいじょうぶなのでしょうか。

港に係留された大型船では、ロープの先をドラムやボラードに巻き付けて止めます。海運の保険組合（P&Iクラブ）の注意書きには、合成繊維の係船索をドラムに巻くとき、3〜4周で通常は十分と書かれています。溝つきのドラムでは、もう少し多く巻く必要が出ることもあるそうです［3］。

強い力で引かれている大きな船を、数周のロープで止める。なぜ数周でこれほど効くのか、次の章で、実際の数字を計算してみます。

なお、張力のかかったロープは切れると跳ね返ります。船員は、ロープが跳ねる範囲に立たないことになっています［3］。

大型船の係留では、合成繊維の係船索をウインチドラムに巻くとき、3〜4周で通常は十分とされ、溝つきドラムではより多くの周数が要る場合がある［3］。ただしこの3〜4周は、英国系の船主責任相互保険組合（P&Iクラブ）が示す、特定の係留作業（ドラムへの巻き付け）の目安である。

では、なぜ数周で足りるのか。この問いの答えが、次章以降のキャプスタン式である。なお、張力のかかったロープの跳ね返りは危険なため、資料も、作業者は跳ね返り範囲に立たないよう注意している［3］。

山を のぼる ひとが つかう、カラビナと いう かねの わっかが あります。これに ロープを ひとまわりの はんぶんだけ かけた ばあいを 考えて みます。

ロープと かねの あいだの こすれぐあいから けいさんすると、はんぶん かけただけで、ひっぱられる ほうの ちからは、おさえる ほうの ちからの およそ 九ばいに なります［2］。ひとまわり かけると、八十一ばいを こえます。

これは、かわいた ナイロンの ロープと ステンレスの かねを りそうの じょうたいで けいさんした かずです。本ものの ロープでは、ここまで ぴったりには なりません。

登山では、カラビナという金属の輪にロープを通して、落ちる人を支える場面があります。この摩擦を計算したのが、キャプスタン式です。引き止める側の力をT_hold、引っぱられる側の力をT_loadとすると、T_load = T_hold × e^(μφ)と書けます。μはロープと柱（ここでは金属の輪）の摩擦係数、φは巻いた角度で、単位は度でなくラジアンです。1周が2πになります［1］。

あるウェブ記事は、乾いたナイロンとステンレスの摩擦係数を0.7として計算しています。半周（π）ならe^(0.7π)で約9倍、1周（2π）ならe^(0.7×2π)で約81倍です［2］。数字は自分でも計算し直して確かめました。ただし、あくまで係数0.7と仮定した理想の値です。

引っぱられる側の張力は、引き止める側の約9倍。手で持つ力が同じでも、半周巻いただけでこうなります。では、このしくみには弱点はないのでしょうか。次の章で、意外な弱点を見ます。

キャプスタン式（オイラー・アイテルバイン式）は、T_load = T_hold × e^(μφ) で表される。T_hold は引き止める側の張力、T_load は引っぱられる側の張力、μ は綱と柱の摩擦係数、φ は綱が柱に沿って巻かれた全角度で、単位はラジアンである（1周は360ではなく2π）［1］。

ある解説は、登山のカラビナ（乾いたナイロンとステンレス、μ = 0.7）に適用している。半周（φ = π）なら e^(0.7π) ≈ 9.02、1周（2π）なら e^(0.7×2π) ≈ 81.4 となる［2］。数値は計算し直して確かめたが、μ = 0.7 と仮定した理想値であり、実際の値はロープの状態で変わりうる。

ただし、式にはT_holdが掛け算で入っている。T_holdがなければ、この倍率は何を意味するのか。次章でこの点を見る。

ここで ぎもんが うかびます。ロープを 九ばいも 強く する ちからは、どこから くるのでしょう。

この けいさんは、手で もって おさえて いる ちからに、ばいりつを かけて います。もし 手で もつ ちからが ゼロなら、いくら たくさん まいても、ゼロの ままです［6］。

だから、ロープの はしを ちょっとでも 手で もって いる ことが だいじです。ふしぎな ちからで とまるのではなく、すこしの ちからを、まきつけで 大きく して いるのです。

式をよく見ると、T_holdは掛け算になっています。手で持つ力が0なら、摩擦係数や巻き角がどれだけ大きくても、摩擦力も0のままです［6］。つまり、柱に巻くだけでロープが止まるのではなく、端を少し引き止める力が、巻き角で大きく増えているのです。

この式の導き方には、もうひとつ大切な条件があります。ロープが柱の上で、いまにも滑りだす寸前のつり合いにあることです［6］。

では、巻く回数を増やしたら、倍率はどうなるのでしょうか。

T_hold = 0 のとき、μ や φ がどれほど大きくても T_load = 0 となる。式は「引き止める側の張力を増幅する」ものであって、巻くだけで力を生む式ではない［6］。

導出は、綱が滑り出す寸前（極限つり合い）にあること、綱が曲げに固くないこと、綱が伸びないことを仮定する［6］。

では、周数を増やすと、上限はどう変わるのか。

まく かずを ふやすと、ばいりつは、たしざんでは なく、かけざんの ように ふえて いきます。

こすれぐあいを 0.6 と して、五かい まいた とき、けいさんでは いちおく ごせんまんばいに なります［1］。ものすごく 大きな かずです。

もちろん、これは りそうの けいさんで、本ものの ロープでは そう なりません。

巻き数が増えると、倍率は足し算でなく、かけ算のように増えていきます。摩擦係数0.6で5周巻いた場合、e^(0.6×10π)で約1億5千万倍になります（自分で計算。実測ではなく理想式の計算値です）［1］。

3周なら、同じ係数で約8万倍です（自分で計算）。船やヨットの現場で3〜4周が目安になる理由は、この式から説明できそうですが、それを直接書いた資料は見つかりませんでした。ヨットでは、帆の引き綱（シート）をウインチに3周より多く巻くことはあまりない、とも言われます［1］。

これらはすべて、理想の式の上の数字です。実際の太いロープや摩耗したロープでは成り立ちません。それでは、柱を太くすれば、もっと効くのでしょうか。

巻き数が増えると、倍率は指数関数的に増える。μ = 0.6、5周（φ = 10π）の場合は e^(0.6×10π) ≈ 1.5×10^8 で、3周（6π）なら約 8×10^4 になる（いずれも理想式の計算値）［1］。

ヨットでは、ウインチに巻くシートが3周を超えることはあまりないとされる［1］。式の値は3周でも大きい。実際の太いロープや摩耗では式の前提が崩れるため、5周の値は理想式に基づく計算値に過ぎない。

では、柱の太さを変えると、この倍率はどう変わるのか。

ふとい はしらの ほうが、ロープが こすれる ところが 多いから、よく とまりそうです。

でも、式には はしらの ふとさが でて きません。こすれぐあいと、まきつけた かくどだけで きまります［4］。しきの うえでは、ふとい はしらでも、ほそい はしらでも、まいた かくどが 同じなら、ばいりつは 同じに なります。

ただし、ほんとうの ロープでは、ほそい はしらほど、ロープを まげる ときの べつの ていこうが 出るとも いわれます。つぎの 章で、しっぱいする ばあいを 見ます。

式には、柱の直径も半径も出てきません。倍率を決めるのは、摩擦係数と巻き角だけです［4］。理想の式では、太い柱でも細い柱でも、同じ角度だけ巻けば、同じ倍率になります。

これは考えてみると不思議です。太い柱のほうが、ロープが触れている長さは長そうに思えるからです。ただ、式の上では、触れる長さの違いは倍率に響きません。

ただし、これも理想の式の話です。実際のロープは、細い柱に巻くほど曲げにくさの影響が大きくなる、と言われています。では、本物のロープで、式はどこまで当てはまるのでしょうか。

式に直径・半径は含まれず、倍率は摩擦係数と巻き角だけで決まる［4］。柱が太いほど接触長は増えるように思えるが、式の上では直径は倍率に影響しない。

これは伸びず、曲げに固くない理想の綱での結論である。実際のロープは、細い柱に巻くほど曲げによる別の抵抗が出る、とも説明される。

式が成り立つ条件をはっきりさせ、その外で何が起きるかを次章で扱う。

この しきは、ロープが のびず、まげても かたくない ことを かんがえて います［1］。かたい ケーブルなどは、しきどおりに はたらきません。

2022ねんの ろんぶんでは、ロープの まげる ときの ちからを、この しきが まったく 考えて いない ことが、じっけんと ずれる ひとつの げんいんと している ことが しめされました［5］。

山のぼりの ひとの なかには、かなめの ていこうは、ロープが まがる ときの ていこうだと いう 見かたも あります。だから、しきの かずは、めやすと して 使います。

式が成り立つには、ロープが長さ方向にほとんど伸びないこと、曲げに対して固くないことが必要です。ボーデンケーブルのような固いケーブルは、式どおりには働きません［1］。

2022年の論文は、この古典的な式が、綱の曲げ弾性をまったく無視していて、実験との食い違いの一因だと指摘しました。さらに、長さが有限の弾性棒は、摩擦がなくても両端で異なる荷重を支えられることを示しています［5］。ただし、この論文は弾性棒というモデルの話で、編まれたロープそのものの結果ではありません。

登山の分野には、ロープの摩擦の多くは、ロープが曲がるときに生じる抵抗（素線がすべって曲がる）だ、という意見も見られます。曲がるときの抵抗が大きいとする意見もある、という程度に受け止めてください。ですから式の数字は、目安として受け止めるのが安全です。

式の導出は、綱が長さ方向に伸びず、曲げに固くないことを仮定する。ボーデンケーブル等の固いケーブルは、式どおりに働かない［1］。

2022年のarXiv論文（Planar equilibria of an elastic rod wrapped around a circular capstan）は、古典式が曲げ弾性を導出で完全に無視している点が実験とのずれの一因だと指摘し、有限長の弾性棒は摩擦がなくても両端で異なる荷重を支えうることを示した［5］。ただし、これは弾性棒のモデルの結果で、編組ロープそのものの結果ではない。

登山ロープでは、摩擦の大部分はロープが曲がるときの内部の抵抗から生じ、式は役に立たないとする意見もある。摩擦係数μの実測値もロープと材質ごとに異なるため、本記事の倍率はすべて理想式の計算値とみなす必要がある。

この しきは、むかし、ドイツの ぎじゅつしゃ アイテルバインが、ほんに まとめた ことで しられて います［1］。スイスの すうがくしゃ オイラーも、おなじ 考えを ろんぶんに 書いて いました。

ずいぶん むかしの ことですが、いまも、ふねや ヨット、山のぼりで つかわれて います。

この式は、キャプスタン式のほかに、オイラー・アイテルバイン式とも呼ばれます。18世紀にオイラーが摩擦と釣り合いについての論文を発表し、ドイツの技術者アイテルバイン（1764〜1849）が1808年の『固体の静力学ハンドブック』で発展させたと伝えられています［1］。オイラーの論文の年は資料により違いがあり、原典で確かめられていないので、年は書かないでおきます。

200年以上前に作られた式が、いまの船やヨット、登山の場面でも目安として役に立っている。摩擦という身近な力の中に、指数関数が隠れていたのは面白いところです。

この式は、18世紀にオイラーが摩擦と釣り合いに関する論文を発表し、ドイツの技術者アイテルバイン（1764〜1849）が1808年の『固体の静力学ハンドブック』（Handbuch der Statik fester Körper）で発展させた、とされる［1］。オイラーの論文の発表年は資料により1762年・1769年の記述ゆれがあり、原典では確認していないため、ここでは18世紀とする。

理想の綱と柱という単純な仮定の上に立つ式が、船・ヨット・登山という別々の現場の目安として今も使われている。その一方で、綱の弾性を入れた新しい研究も続いている［5］。

今日できること

水の 入った ちいさな ペットボトル（五百ミリリットル）に ひもを むすびます。ペットボトルは ゆかに おいた ままにして、ひもを イスの まるい あしに、まかない・一かい・二かい まきつけます。ひもの はしを ゆびで かるく つまんで、ペットボトルの ほうを 手で ひっぱって みましょう。ひもは ゆびや 手に まきません。おうちの ひとと いっしょに、かるい ものだけで ためします。どのくらい かるく つまんで おけるかは、ひもや あしの ざいしつで かわります。

出かけてできること

みなとで とまって いる ふねを 見に いく ことが あったら、はなれた ところから、ロープが どこに まきつけて あるかを 見て みましょう。ロープには ちかづきません。

こうしきの 情報じょうほう

ふねや、ロープの ほんに、ヒントが あります。ただし、この しきの かずは、りそうの けいさんだと いう ことも わすれずに。

今日できること

水を入れた500mLのペットボトルにひもを結び、ペットボトルは床に置いたままにします。ひもをイスの丸い脚に、巻かない・1周・2周と巻き付け、ひもの端を指で軽くつまんで、ペットボトルの側を手で引いてみましょう。ひもは手や指に巻き付けません。軽いものだけを使い、大人と一緒に行います。端をつまむ力が、巻き数でどう変わるかを感じてみてください。ひもの材質でも変わるので、結果がそろわなくても、それが本物のロープとの違いのヒントになります。

出かけてできること

港で係留されている船を見る機会があれば、離れたところから、ロープがどこに巻かれているかを見てみましょう。ロープには近づかないでください。

公式情報

船や登山、ヨットの入門書、海運や登山の団体が出している解説に、ロープの扱いの話があります。式の倍率は理想の値だと頭に入れて読むと、実際の注意書きの意味が分かりやすくなります。

今日できること

水を入れた500mLのペットボトルにひもを結び、ペットボトルは床に置いたまま、ひもを丸い椅子の脚に0周・1周・2周と巻き、端を指で軽くつまんで、ペットボトル側を手で引く。ひもは手や指に巻かない。軽いものだけで、大人と一緒に行う。巻き数を変えたときの手応えを比べ、理想式の予測と同じにならない理由を考えてみる。

出かけてできること

港で係留された船を離れて観察し、ロープの巻き方（何周か、何に巻いているか）を確かめる。ロープには近づかない。

公式情報

船や登山の入門書、海運や登山の団体の解説に、ロープの扱いの話がある。式の倍率は理想値だと頭に入れて読むと、実際の注意書きの意味が分かりやすくなる。