ヒマワリの まん中を よく 見て みましょう。たねが、うずまきの ように ならんで います。うずまきは 2しゅるい あります。右まわりの ものと、左まわりの ものが、かさなり あって います。

それぞれを 数えると、小さい 花では 21本と 34本、大きい 花では 89本と 144本に なる ことが おおいそうです［1］。

この 数は、1、1、2、3、5、8、13、21、34…と つづく「フィボナッチ数」です。となりあう 2つを たすと、つぎの 数に なります。ただし、ぜんぶの ヒマワリが そう なる わけでは ありません。

では、たねは どんな じゅんばんで おかれて いるのでしょうか。

ヒマワリの中心を見ると、時計回りと反時計回りの2組のうずまきが交差しています。それぞれの組の本数を数えると、小さい花では21本と34本、大きい花では89本と144本、さらに大きい花では144本と233本という例もあります［1］。

この数は「フィボナッチ数」です。1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233と、前の2つを足すと次の数になる数の列です。花びらの数ではなく、種が作るうずまきの本数の話です。ただし、すべてのヒマワリがそうなるわけではありません。

種は、どんな順番で置かれているのでしょうか。

ヒマワリの頭花では、時計回りと反時計回りの2組のらせんが交差して見える。小さな頭花では21本と34本、大きなものでは89本と144本、さらに144本と233本の例もあり、各組の本数はフィボナッチ数になることが多い［1］。数えているのは花びらではなく、種（小花）が作るらせんである。

フィボナッチ数は、1、1、2、3、5、8、…と、直前の2つの和が次の数になる列だ。隣どうしの比は黄金比φ＝(1＋√5)/2≒1.618に近づく（34/21≒1.619、144/89≒1.618）［1］。ただし「必ず」ではなく、後の章で述べるとおり例外もある。

そもそも、この本数は何が決めているのか。まず、種の並びを再現する簡単なモデルから見る。

くるくる まわる 台の まん中から、ビーズを 1つずつ 外がわへ おいて いく ところを 考えて みましょう。1つ おくたびに、台を すこしだけ まわします。

その まわす 角度を「137.5度」に すると、ヒマワリの たねに よく にた ならびが できると 知られて います［1］。ひと回りの 3分の1（120度）より、すこし 大きい 角度です。

ただし、これは ならびを 上手に まねする 計算です。ヒマワリが 本当に そう して いるかは、べつの 話です。

では、どうして 137.5度なのでしょうか。

くるくる回る台の中心から、ビーズを1粒ずつ外へ置いていく場面を考えてみます。1粒置くたびに、台を少しだけ回します。

1979年にヘルムート・フォーゲル（Helmut Vogel）は、n番目の種を、中心から√nの距離、角度n×137.5°の位置に置くモデルを示しました。この式で描くと、ヒマワリの種の並びによく似た図ができます［1］。137.5°は、ひと回りの3分の1（120°）より少し大きい角度です。

ただし、これは「見た目を再現する式」です。ヒマワリがそのように種を置いているという説明ではありません。では、なぜ137.5°なのでしょうか。

Vogel（1979）のモデルでは、極座標で、n番目の種を中心から距離r(n)＝√n、角度θ(n)＝n×137.5°に置く。このモデルで描くと、ヒマワリの種の並びとよく似た図になる［1］。

ここで大事なのは、これが「見た目を再現する式」であり、植物が実際にその計算をしている証拠ではない点だ。では、角度137.5°にはどんな性質があるのか。次章で調べる。

もし 角度が ちょうど ひと回りの 3分の1、つまり 120度だと、どう なるでしょう。3回 おくと もとの 場所に もどるので、たねは 3本の 線に ならびます。線と 線の あいだは、あいたままです。

137.5度の 場合は、何回 おいても、ぴったり もとの 場所には もどりません。そのため、すきまが できにくい ならびに なります。角度が 1度 ずれるだけでも、きれいな ならびが くずれる 図が のって います［1］。

この 137.5度は「黄金角」と よばれます。ひと回り（360度）を 222.5度と 137.5度に 分けた ときの、小さい ほうです。大きい ほうを 小さい ほうで わると、およそ 1.618。フィボナッチ数の となりどうしの 数を わった 答えも、この 数に 近づきます。

ところで、花は 角度を はかって いるのでしょうか。

もし角度がちょうどひと回りの3分の1（120°）なら、3粒置くと元の方向に戻るので、種は3本の直線状に並び、線と線の間がすき間になります。分数で表せる角度だと、このようにすき間ができてしまいます［2］。

137.5°は、どう置いても元の方向にぴったりとは戻りません。角度が黄金角から1°ずれるだけでも、きれいな並びが失われる図が示されています［1］。黄金角は「分数でもっとも近づきにくい数」とも説明されます［2］。

黄金角は、360°を黄金比の比に分けたときの小さいほうです。222.5°と137.5°の比は約1.618で、フィボナッチ数の隣どうしの比が近づく数と同じです。360÷1.618²を計算すると約137.5になります［1］。この角度で置くと、すき間ができにくい並びになります。

では、ヒマワリは、角度を測って種を置いているのでしょうか。

黄金角は、360°を黄金比の比に分けたときの小さいほうの角で、360°/φ²≒137.5°である［1］。222.5:137.5≒1.618で、フィボナッチ数の隣どうしの比が近づく値と一致する。

この角度が意味を持つのは、分数で表せる角度だと種が直線状に並んですき間ができるからだ。たとえば1/3周（120°）なら3粒ごとに同じ方向へ戻る。黄金角は「分数で近似しにくい数」と説明される［2］。黄金角から1°ずれるだけで、並びの一様さは失われるという図示もある［1］。なお、Knottの解説には0.1°でも壊れるという強い書き方があるが、ここでは図で示された1°を根拠とする。

ただし、「黄金角がすき間を最小にする」という最適性の主張は、資料によって強さが違う。本稿では「すき間ができにくい」までにとどめる。では、植物はこの角度をどう「知って」いるのか。

ヒマワリは 角度を はかる 道具を もって いません。それでも 137.5度に 近い ならびが できる わけを、ドゥアディさんと クーデさんが 考えました。1992年の ことです［3］。

ふたりの 考えは、「新しい たねの もとは、もう できて いる ものから、はなれた ところに できる」という、たった 1つの きまりです。この きまりだけで、フィボナッチ数の うずまきが ひとりでに できると、コンピュータの モデルで しめしました。137.5度は、その きまりから 出て きます。

ふたりは 実験じっけんも しました。じしゃくの 力を うける、小さな とろっと した つぶを、中心へ 1つずつ 落とします。つぶ どうしは おしあいます。すると、つぶが フィボナッチ数の うずまきに ならびました［3］。

ここまで 分かって いるのは「この きまりで 同じ ならびが つくれる」ところまでです。本当の 花の 中で 何が おきて いるかの ぜんぶでは ありません。

では、本当の ヒマワリを たくさん 数えたら、どう なったのでしょう。

1992年にドゥアディ（Douady）とクーデ（Couder）は、この問いに答えるモデルを示しました。新しい原基（種や葉のもと）は、すでにできた原基から離れた場所にできる、という単純な抑制の規則です。この規則だけで、フィボナッチ数のらせんが自然にできることをモデルで示しました。137.5°に近い角は、この規則の結果として現れます［3］。

2人は実験もしています。磁場の中に、磁性流体の小さな滴を中心へ次々に落とすと、滴どうしが反発し合うだけで、フィボナッチ数のらせんに並びました［3］。角度を計算する装置がなくても、押し合いの規則から角度が出てくる、という見方です。

ただし、分かっているのは「この規則で再現できる」ところまでです。実際の植物の中で成長点の抑制が何によって起きるかまで、この記事では扱いません。

では、本物のヒマワリを大量に数えたら、モデルどおりになるのでしょうか。

Douady と Couder（1992）は、新しい原基が既存の原基から離れた位置にできるという単純な抑制の規則が、フィボナッチ数のらせんを自発的に生じさせることを、モデルで示した。約137.5°の開度は、この規則の結果として現れる［3］。

彼らは実験も行った。磁場の中で磁性流体の小滴を中心へ次々に落とすと、滴どうしの反発力だけで、滴がフィボナッチ数のらせんに並んだ［3］。角度を「指定」しなくても、規則から角度が出てくる点が重要である。

ただし、これは「こうすれば再現できる」という段階の説明で、完全な決着とまでは言えない。植物の中で抑制を担う物質や、Vogelモデルとの最適性の関係は、ここでは詳しく扱わない。では、実際のヒマワリを大量に数えると、モデルの予想はどこまで当たるのか。

2012年は、チューリングさんが 生まれてから 100年めでした。チューリングさんは、ヒマワリの ならびの わけを 話そうと して いましたが、1954年に なくなり、しごとは できあがりませんでした［4］。

そこで、イギリスの マンチェスターの かがくさんぎょう はくぶつかんなどが、「Turing's Sunflowers」という 取りくみを しました。世界中の 人が ヒマワリを 育てて、写真や たねの 頭を おくり、数学者が しらべたのです［4］。

ろんぶんでは、もっとも しんらいできると 考えられた データで、657本の ヒマワリから 768この うずまきの 本数が しらべられました。そのうち 565こ、およそ 74%（4分の3ほど）が フィボナッチ数でした［5］。

さらに 67こは、決めた かたちの フィボナッチの つくりを もって いました。のこりには、ルーカス数が 41こ、二重フィボナッチが 25こ、などが ありました［5］。

フィボナッチ数では ない うずまきも、たくさん あったのでしょうか。

2012年は、アラン・チューリング生誕100年の年でした。チューリングは生前、ヒマワリのフィボナッチ型の並びを説明しようとしていましたが、1954年に亡くなり、完成しませんでした［4］。

そこで、マンチェスターの科学産業博物館などが「Turing's Sunflowers」を実施しました。世界中の人がヒマワリを育て、写真や種の頭を送り、数学者が調べたのです［4］。

論文（2016年）によると、もっとも信頼できると判断されたデータでは、657本のヒマワリから768個のうずまきの本数が評価され、565個（約74%）がフィボナッチ数でした。さらに67個は決めた型のフィボナッチ構造を持っていました。ほかにルーカス数が41個、二重フィボナッチが25個などです［5］。657本と768個は数える単位が別です。

フィボナッチ数でも、その仲間でもなかったヒマワリは、どんなものだったのでしょうか。

2012年はAlan Turing生誕100年で、Turingが生前ヒマワリのフィボナッチ型の並びを説明しようとしたものの、1954年の死去で完成しなかった研究を引き継ぐ形で、マンチェスターの科学産業博物館などが「Turing's Sunflowers」を実施した。世界中の人が育てたヒマワリの写真や種の頭を集め、数学者が解析した［4］。大学のニュースは「500本以上」とするが、論文の数を使う。

Swinton, Ochu ほか（2016）は、もっとも信頼できるデータの部分集合で、657本のヒマワリから768個の時計回りまたは反時計回りのらせんの本数（パラスティキー数）を評価した。565個（565/768≒73.6%、約4分の3）がフィボナッチ数で、さらに67個は事前に定めた型のフィボナッチ構造を持っていた。ルーカス数は41個、二重フィボナッチは25個だった［5］。657本と768個は、数える単位が別である。

「約74%が当てはまる」は、市民が数えたデータの結果であり、「すべてがそうなる」でも「モデルが完成した」でもない。残りは何だったのか。

あった ようです。たとえば「502ばん」の ヒマワリは、うずまきの 本数が 77本と 56本でした。56は フィボナッチ数に 近い ですが、77は フィボナッチ数から 遠い 数です［5］。

「667ばん」の ヒマワリは、いくつもの うずまきが かさなって いて、数えるのが むずかしかったと 書かれて います［5］。

数えた 人たちは「そだつ 中で ゆれや ばらつきが ある ようすを 表せる モデルが、ひつようかもしれない」と のべて います［5］。「フィボナッチ数は まちがい」ではなく、「多くは そうだが、れいがいも ある」と いう ことです。

いつ、どんな ときに ならびが ずれるのか。それは、これから 調べる 人が 見つけるかも しれません。

例外もありました。ヒマワリ502は(77, 56)で、77がフィボナッチ数から遠い数でした。667は複数のらせんが重なって、数えにくい花でした［5］。

著者たちは、成長のゆらぎを明示的に表すモデルが必要かもしれない、と述べています［5］。「フィボナッチ数は間違い」という結論ではなく、「多くはそうなるが、例外もある。なぜそうなるかの説明は、まだ発展の途中」という結論です。

数式のモデルはきれいでも、本物の花は、育つ環境や成長のばらつきの影響を受けます。

例外の例として、ヒマワリ502は(77, 56)で、時計回りの77はフィボナッチ数から遠く、667は複数のらせんが重なって数えにくかった［5］。このようなケースを、単なる数え間違いとして捨てず、著者は「揺らぎのある発達過程を明示的に表すモデルが、必要であり、かつ検証可能かもしれない」と述べている［5］。

抑制モデルは、決まった規則から決まった並びを導く。だが、実際の成長には揺らぎがある。約74%という比率は、モデルが多くのヒマワリを説明できるとともに、説明しきれないヒマワリも残ることを、一つの数字で示している。

「フィボナッチ数は間違い」とも「完全に説明済み」とも言えない、その中間が今の位置である。

ヒマワリや 花の 写真を 見つけて、まん中の うずまきを 右まわりだけ、ゆびで なぞって 数えて みましょう。とちゅうで 分からなく なったら、どこが 数えにくいかを おぼえておきます。おうちの 人と いっしょに、図かんで 花の 名前を しらべても いいです。

ちがっても、数え方や ならびを もう一度 見て みましょう。ろんぶんにも、数えにくい 花が ありました。

ヒマワリの中心の写真を1枚選び、時計回りのうずまきを1本ずつ指でなぞって数えてみてください。次に反時計回り。数が1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233のどれに近いかを見比べます。うまく数えられない場所があれば、それが「数えにくい花」の一例です。

手元のヒマワリの写真（自分で撮ったものでも、図鑑のものでもよい）で、時計回りと反時計回りのらせんを数え、フィボナッチ数に当てはまるかを見る。数えにくい場所があれば、論文に載った667の写真と見比べてみたい。

原典に当たるなら、Swinton ほかの論文［5］（英語）は、データの選び方、例外の写真、著者らの考察を含む。Douady と Couder の1992年の論文［3］は、抑制モデルと磁性流体の実験の原典である。Manchester大学のニュース［4］は、企画の趣旨を確認できる。