1日目は、1円です。2日目は 2円、3日目は 4円、4日目は 8円。ここまでは、おこづかいの はなしの ようです。

10日目でも、512円。ジュースを 2本 かえる くらいです。でも 20日目は 52まん 4288円。30日目には、5おく 3687まん 912円に なります［1］。

はじめの 10日は、のろのろ。さいごの 10日で、ぐんと 大きく なります。では、どうして 30日目だけで そんなに 大きいのでしょう。

1日目に1円、2日目に2円、3日目に4円と、毎日前の日の2倍にしていきます。10日目の金額は512円です。ここまでなら、お小遣いの話に聞こえます。

ところが20日目は524,288円、30日目は536,870,912円になります［1］。最初の10日間は、ほとんど増えていないように見えますが、そのあとの10日間で金額が1000倍ほどに跳ね上がります。

なお、この数字は「1円から始めて」の場合です。10円から始めれば、すべて10倍になります。

1日目を1円とし、毎日前日の2倍にすると、n日目の1日分は2^(n−1)円になる。10日目は2^9＝512円で、感覚的にはまだ小さい。しかし20日目は2^19＝524,288円、30日目は2^29＝536,870,912円で、10日ごとに約1000倍（2^10＝1024倍）ずつ大きくなる［1］。

この値は「1円スタート」の1日分で、30日目までの合計はまた別の値になる（次章）。最初の金額を変えれば全体が比例して変わるので、倍々の面白さは金額よりも「いつ急に効いてくるか」にある。

30日ぶんを ぜんぶ たすと、10おく 7374まん 1823円です［1］。31日目の 1日ぶんは、10おく 7374まん 1824円。たった 1円ですが、ちゃんと 大きいのです。

ひみつは、「きのうまでの ごうけいは、きょうの ぶんより かならず 1円 すくない」ことです。1日目から 3日目までの ごうけいは 7円、4日目は 8円。1日目から 4日目までは 15円、5日目は 16円。いつも 1円だけ たりません。

つまり、いちばん あたらしい 1日が、それまでの ぜんぶを あわせた 大きさと、ほとんど おなじなのです。

合計を計算してみる

30日分を全部たすと、1,073,741,823円です。31日目の1日分は1,073,741,824円で、合計よりちょうど1円だけ大きくなります［1］。

確かめ方は簡単です。1日目から3日目までの合計は1＋2＋4＝7円で、4日目の8円より1円少ない。4日目までの合計は15円で、5日目の16円より1円少ない。これがいつまでも続きます。

最後の1日が、全体の半分

この性質から、30日目の1日分（536,870,912円）は、30日分の合計のほぼ半分にあたります。倍々では、「最後の1日が、それまでの全部とほぼ同じ」になります。毎日同じ金額を足す場合は、最後の1日はたいてい全体のごく一部にすぎません。ここに、倍々が勘に合わない理由の1つがありそうです。

1日目から30日目までの合計は、等比数列の和の公式から2^30−1＝1,073,741,823、31日目の1日分は2^30＝1,073,741,824で、合計を1だけ上回る［1］。一般に、n日目までの合計はn+1日目の1日分より1少ない（1＋2＋…＋2^(n−1)＝2^n−1）。

この関係から、30日目の1日分2^29は、30日分の合計2^30−1の約半分になる（536,870,912÷1,073,741,823≒0.5）。毎日一定額を足す場合なら、最後の1日分は全体の約30分の1にすぎないので、同じ「30日」でも最終日の重みがまるで違う。この重みの違いが、直感とのずれの手がかりになる。

なお、2^30＝1,073,741,824という値は、次章以降の例でも繰り返し現れる。

むかしの 日本にも、「2ばい、2ばい」で ふえる 数を かんがえた 人が います。えどじだいの 本『じんこうき』に のっている、ねずみ算です。

お正月に、ねずみの 親が 2ひき います。ひと月に 12ひきの 子を うむと、親と 子で 14ひき。つまり、ひと月で 7ばいです。これを 12か月 つづけると、12月には 276おく 8257まん 4402ひきに なります［2］。

ただし これは、「みんなが 同じ ように うむ」という、ものがたり の 計算です。ほんとうの ねずみの 数では ありません。

この はなしから、数が いっきに ふえる ことを「ねずみ算式に ふえる」と いう ように なった といわれます［2］。

江戸時代の算術書『塵劫記（じんこうき）』には、ねずみ算の問題が載っています。作者は吉田光由（よしだみつよし）で、国立国会図書館によると、生涯に何度も改版を重ね、寛永11年（1634）の版がいちばん広く読まれたそうです［3］。

問題はこうです。正月に、親のねずみ1つがいが12匹の子を産んで、親と子で14匹になります。次の月には、この14匹が、また12匹ずつ産みます。こうして毎月7倍になり、12月には2×7の12乗＝27,682,574,402匹になる、というものです［2］。

もちろん現実の数ではなく、「全員が同じように産む」と決めた理想化の計算です。それでも、数が急に増えることを「ねずみ算式に増える」と言うのは、この問題がもとになったと説明されています［2］。

江戸時代の算術書『塵劫記』（吉田光由、1598〜1673）に、ねずみ算が載る［3］。正月に親1つがいが12匹産んで14匹になり、以後毎月、全員が同様に増えて7倍になる。12月の数は初項2・公比7の等比数列で、2×7^12＝27,682,574,402匹だ［2］。

この問題は、全員が毎月12匹ずつ産むという理想化を置いた計算で、実在のねずみの増え方を示すものではない。国立国会図書館の資料によれば、『塵劫記』は吉田光由が生涯に何度も改版し、寛永11年（1634）版が最も普及した［3］。初版の年は資料により異なる（1627年とされることもある）。

「ねずみ算式に増える」という急増を表す言い方は、この問題に由来するとされる［2］。ただしこれは二次資料の記述で、原典のデジタル資料で文面を確かめたものではない。

チェスの ばんには、64この マスが あります。1マス目に こめ 1つぶ、2マス目に 2つぶ、3マス目に 4つぶ。こんな ふうに 2ばいずつ おいて いくと、どう なるでしょう。

ぜんぶで 1844けい つぶ ほどに なります。「けい」は、1おくの さらに 1おく倍の 大きな 数です。64マス目の ぶんだけで、ぜんたいの はんぶんより 多いのです［1］。

この はなしは、むかしから つたわる「でんせつ」で、王さまや かしこい 人の せっていは、本に よって ちがいます［1］。じっさいに あった できごとでは ありません。

1マス目に米1粒、2マス目に2粒、3マス目に4粒と、64マスを倍々に埋めていくと、全部で18,446,744,073,709,551,615粒、およそ1844京粒になります。京は、1億の1億倍という大きな単位です［1］。

前の章で見たように、最後の1マス（64マス目）の2の63乗粒だけで、全体の半分を超えます。31日目が30日分の合計を超えたのと、同じ形です。

この話は、起源がはっきりしない伝説です。数学の教材として語り継がれ、王や賢者の設定は出典により異なります［1］。史実としては扱いません。

チェス盤64マスに、1, 2, 4, …と倍々に穀物を置くと、総数は2^64−1＝18,446,744,073,709,551,615粒（約1844京粒。京＝10^16）になる［1］。最後のマスだけで2^63粒あり、全体の半分を超える。これは前章の「n日目までの合計は翌日の1日分より1少ない」の、n＝64の場合にあたる。

この話は、起源のはっきりしない伝説として数学の教材に使われ、王や賢者の設定は文献により異なる［1］。史実ではないので、登場人物の結末にも触れない。

数の大きさに驚くだけでなく、倍々が「途中の合計より最後が大きい」という形を持つことを読み取ると、紙折りや大腸菌の例を同じ見方で読める。

1まいの 紙を はんぶんに おる。もう 一ど はんぶんに おる。おる たびに、あつさは 2ばいです。

むかしは「8回より おれない」と、しんじられて いました。ところが 2002年、アメリカの 高校生 ブリトニーさんが、12回 おることに せいこうしました［4］。

つかったのは、ふつうの 紙では なく、ながさ 1.2キロメートルほどの トイレットペーパーです。おる たびに、あつさが 2ばいに なって、はばより あつく なって しまうからです［5］。

ブリトニーさんは、「何回 おるには どれだけの ながさが いるか」を しめす 式も 考えました［5］。

紙を1回折るごとに、厚さは2倍になります。幅11インチ、厚さ0.001インチの市販の紙を7回折ると、厚さと幅の比が1.6になり、折りたたんだ束は、幅より厚くなります［5］。

これが、「8回以上は折れない」と信じられた背景の1つです。ところが2002年1月27日、アメリカ・カリフォルニア州ポモナの高校生ブリトニー・ギャリバン（Britney Gallivan）さんが、紙を同じ方向に半分に12回折ることに成功しました。9回から12回を、初めて成功させた人としてギネス世界記録に認定されています［4］。

使ったのは、長さ約4,000フィート（約1.2km）のトイレットペーパーです。必要な長さの式も自分で導いた、と紹介されています［5］。

12回折ると、厚さは2の12乗＝4096倍になります。紙の厚さも、折る回数が増えると、こんなに大きくなります。

紙を1回折ると厚さは2倍になり、n回では2^n倍になる。幅11インチ・厚さ0.001インチの市販の紙は、7回折ると厚さと幅の比が1.6になり、束が幅より厚くなる［5］。これが、8回以上は折れないとされた背景の1つだ。

2002年1月27日、米カリフォルニア州ポモナの高校生ブリトニー・ギャリバンは、同じ方向に半分に12回折ることに成功した。ギネス世界記録は、9・10・11・12回を初めて成功させた人として記録している。使ったのは長さ約4,000フィート（約1.2km）のトイレットペーパーである［4］。

Science Newsによると、彼女は折れる回数nと必要な長さLの関係を L＝(π/6)t(2^n＋4)(2^n−1)（tは紙の厚さ）の式で表した。これは一方向に折る場合の最小の長さを表す式で、2^nが2回出てくるので、回数が1つ増えると必要な長さはおよそ4倍になる［5］。ここで倍々が、厚さだけでなく長さにも効いている。

だいちょうきんという 小さな せいぶつは、20分ごとに 2ひきに わかれる ことが あります。ただし、これは じっけんしつで、ごはんが たっぷり ある ときの はなしです［6］。

20分ごとに 2ばいなら、1時間で 8ばい、10時間で 10おくばいほどです。けいさんの うえでは、そうなります。

でも じっさいには、ごはんが なくなって、そこで とまります。しぜんの なかでは、15時間に 1回ほどだと、見つもられています［6］。

大腸菌は、実験室の良い条件のもとでは、約20分ごとに分裂して2倍になります。一方、自然の環境では、約15時間ごとだと推定されています［6］。

20分ごとに倍になるなら、1時間で2の3乗＝8倍、10時間で2の30乗、つまり約10億倍です。ただしこれは、理論上の上限を計算した数字です。実際には、栄養などが尽きて、倍々は頭打ちになります。

倍々の増え方は、「条件がそろっている間だけ」続きます。紙も、ある回数で折れなくなりました。ねずみ算も、現実には、食べ物や場所が足りなくなります。

大腸菌は実験室の良好な条件では約20分ごとに倍増する。一方、自然環境では約15時間ごとと推定されている（Gibson et al. 2018, Proceedings of the Royal Society B）［6］。

20分ごとに倍になるなら、1時間で2^3＝8倍、10時間で2^30（約10億）倍になる。ただし、これは理論上の上限の計算で、実際には栄養などの制約で頭打ちになる。実験室の20分と野外の15時間は、倍々が「条件つきの増え方」であることを示す対比だ［6］。

20分と15時間の差は45倍で、条件が変わると同じ倍々でも時間の尺度がまるで変わる。数式が示すのは形であり、そこにどんな速さと上限を与えるかは、現実の側が決める。

2ばいに ふえる 数は、さいしょは ゆっくりで、あとから いっきに 大きく なります。だから、さいしょの ようすだけ 見ると、「これから 毎日 同じ 数ずつ ふえる」と おもって しまいがちです。

お金の けいさんでも、この ようなことが あると、アメリカの 研究者たちが ほうこくして います。ローン（お金の かし かり）の しらべでは、ほんとうより ひくい りそくを こたえる 人が、多いと ほうこくされました［7］。

この 研究では、足し算に よせて 見つもって しまう 人ほど、お金を 多く かりて、あまり ためない かたむきも ありました［7］。ただし、だれでも まちがえる という ことでは ありません。

倍々の増え方は、最初のうちゆっくりで、あとから一気に伸びます。そのため、最初の様子だけ見ると、「これからも毎日同じ数ずつ増えそうだ」と思いがちです。

アメリカの経済学者スタンゴとジンマンは、こうした見積もりのくせを「指数成長バイアス」と名づけました。倍々で増える数を、毎日同じ数ずつ増えるように見積もってしまう傾向です。ローンの調査では、実際より低い金利を答える傾向が報告されています［7］。

同じ研究では、このバイアスが強い世帯ほど、借り入れが多く、貯蓄が少ない傾向がありました［7］。ただし、これは両方の傾向がいっしょに見られたという話で、直感のせいで損をする、と言いきれるわけではありません。また、誰もが必ずまちがえる、という意味でもありません。

Stango & Zinman（2009, Journal of Finance 64(6)）は、指数的な変化を直感で評価するとき、それを直線的に見積もる傾向を「指数成長バイアス」と呼んだ。ローン返済に関する調査では、回答者が実際より低い金利を答える傾向が報告された［7］。

同じ研究では、このバイアスが強い世帯ほど、借り入れが多く貯蓄が少なく、返済期間の短いものを選ぶ傾向が報告された［7］。これは相関であり、バイアスが原因だと断定する材料ではない。この結果は、金利の見積もりという特定の調査のもので、誰でも必ず間違うことを示すものではない。

前章までの例と並べると、31日目が30日分の合計を超える、64マス目が全体の半分を占める、といった「最後が大きい」形は、足し算の感覚で見積もると小さく見える形だ。ただし、この傾向の原因を認知研究から説明する材料は、今回使った資料にはない。

コピー用紙を 1まい よういして、はんぶんに おって いきます。なんかい おれるか、やって みましょう。おる たびに あつさが 2ばいに なります。なんかい目から おりにくく なるか、かぞえて みましょう。

つぎに、でんたくで 1から はじめて、「×2」を 30回 おして みます。10回目、20回目、30回目の 数を、ノートに かいて みましょう。

紙で けがを しないように、気を つけて ください。

家にあるコピー用紙を1枚用意して、半分に折っていきます。何回折れるか、数えてみましょう。折るたびに厚みが2倍になります。何回目から折りにくくなるか、数えてみましょう。

次に、電卓で「1」から始めて「×2」を30回押し、10回目、20回目、30回目の数をノートに書き留めます。1円から始めた場合の1日分の表になります。10回ごとに約1000倍になる様子が見えるはずです。

もっと読みたくなったら、国立国会図書館の「日本の数学」［3］を開いてみてください。

コピー用紙を半分に折り続け、何回折れるか試す。折るたびに厚さが2倍になるので、7回前後で束が極端に固くなる。電卓で1に「×2」を30回繰り返し、10・20・30回目の値を記録すると、10回ごとに約1000倍となることを自分の手で確かめられる。紙の端で指を切らないよう注意する。

資料を読むなら、倍々の和と盤の話はMathWorld［1］、『塵劫記』の版の事情は国立国会図書館「日本の数学」［3］、紙折りの式はScience News［5］、直感と金利の研究はIZAのディスカッション・ペーパー［7］が原典に近い。人口の増え方が倍々かどうかは今回の資料の範囲外で、さらに調べる価値のある問いだ。