クレイ数学けんきゅうじょは、2000ねん5月24日に、パリで 7つの もんだいを はっぴょう しました。1つ 100万ドル、ぜんぶで 700万ドルです［1］。

2010ねん3月18日には、ポアンカレよそうに ついて、はじめての しょうを おくる ことが はっぴょう されました［2］。いまも、とけたと されるのは この 1つだけです［1］。

「とけたよ」と 手紙を おくれば もらえる わけでは ありません。ほかの 人に よまれて、2年いじょう たっても、せかいの すうがく者に ひろく うけいれられて、はじめて 見てもらえます［3］。

では、のこりの 6つは、どんな 問いなのでしょう。まず、パスワードに かんけいする 問いから 行きます。

7問の中の、解けた1問

CMIは、2000年5月24日にパリで7つの問題を発表しました。賞金は1問100万ドルで、総額は700万ドルです［1］。ページの一覧で解決済みと表示されるのは、ポアンカレ予想だけです［1］。2010年3月18日には、専門委員会などの推薦を経て、ペレルマンにこの問題の解決でミレニアム賞を授与すると発表されました［2］。

解いただけではもらえない

CMIのルールでは、審査に入る条件が3つあります。適格な媒体に発表されていること、発表から2年以上たっていること、世界の数学界で広く受け入れられていること。CMIは、解答の直接投稿も受け付けません［3］。正しさを、時間をかけて多くの数学者が確かめる仕組みです。

では、残る6問はどんな問いなのか。まず、暗号に関わる問いから見ます。

CMIは2000年5月24日にパリで7問を発表した。賞金は各100万ドル、総額700万ドルである［1］。7問の内訳は、BSD予想、ホッジ予想、ナヴィエ–ストークス方程式、P対NP問題、リーマン予想、ヤン–ミルズ理論と質量ギャップ、ポアンカレ予想で、CMIの一覧で解決済みなのはポアンカレ予想のみだ［1］。2010年3月18日、CMIは専門委員会と科学諮問委員会の推薦を経て、ペレルマンにミレニアム賞を授与すると発表した［2］。

解けたと認められるには、賞の条件を満たす必要がある。審査に入るには、(i)適格な媒体に発表され、(ii)発表から2年以上が過ぎ、(iii)世界の数学界で広く受け入れられている必要があり、CMIは解答の直接投稿を受け付けない［3］。ただし、これは賞の条件であって、問題が解けていない理由そのものではない。そこで、残る6問がそれぞれ何を問うのかを順に読む。最初は、暗号とも結びつくP対NP問題だ。

パスワードは、ぐうぜん 当てるのは むずかしい ものです。その「むずかしさ」を たよりに、いろいろな あんごうが 作られて います。

P対NP問題は、そのむずかしさに かかわる 問いです。ある 問題を、あたまの いい 当て方 では 早く とけるのに、ふつうの やり方でも 同じくらい 早く とけるのか、と たずねます［4］。

もし、その やり方が 本当に 見つかれば、びっくりする ことが おきるかも しれません。クックという 人は、ほんとうに 見つかった ときの 大きな えいきょうを 書いて います［4］。ただし、すぐに あんごうが やぶられる、と いう ことでは ありません。

問いの中身

P対NP問題は、ある問題を「正解の候補をうまく選べる仕組み」を使えば速く解ける場合、ふつうの手順でも同じくらい速く解けるのか、と問います。CMIの公式解説を書いたクックの言葉では、非決定性のアルゴリズムが多項式時間で受け入れられる言語は、決定性のアルゴリズムでも多項式時間で受け入れられるか、という問いです［4］。「多項式時間」は、入力が長くなっても、手数が急にふくれあがらないことをさします。

コンピューターの標準的なモデルとして、1936年にチューリングが導入したチューリング機械が使われます［4］。

なぜ暗号と結びつくのか

クックは、この問題が重要な理由として、NP完全性の理論と、計算の難しさにもとづく暗号理論を挙げています［4］。P=NPを具体的な手順で示す証明が出れば、実用上も驚くべき結果になりうる、とも述べています［4］。ただし「具体的な手順で示す証明が出れば」という条件つきの話で、暗号が今すぐ破られるという意味ではありません。

次は、暗号とはまったく別の世界、素数にまつわる問いです。

P対NP問題を、CMIの公式解説を書いたクックは、「非決定性アルゴリズムが多項式時間で受理する言語は、決定性アルゴリズムでも多項式時間で受理できるか」という問いとして定式化する［4］。多項式時間とは、入力の長さの決まったべき乗以内の手数のことだ。計算のモデルには、1936年にチューリングが導入したチューリング機械を標準とする［4］。

この問いが注目されるのは、2つの理論と結びついているからだ。NP完全性の理論と、計算の難しさを前提にした暗号理論である［4］。そのため、P=NPの構成的な証明が得られれば、実用上も驚くべき帰結になりうる、とクックは述べる［4］。ただし「構成的な証明があれば」という条件つきで、暗号の実際の安全性への影響までは論じていない。

次に、P対NPとはまったく別の領域、素数の分布をめぐるリーマン予想を読む。

2、3、5、7、11。1より 大きくて、1と 自分 だけで われる 数を、そすうと いいます。どこに 出てくるか、きまりが なさそうに 見えます。

1859ねんに、リーマンは、ある 数までに そすうが 何こ あるかを、ふしぎな 式の 「ゼロに なる 点」を 使って あらわしました［5］。リーマンよそうは、その 点の ならびかたに ついての 予想だと されます。

そすうの ならびと、式の ゼロの 点。ぜんぜん ちがう ものが つながる ところが、この 問いの おもしろさです。

素数の個数と、ゼータ関数

素数は、1とその数自身でしか割れない数です。ある値までに素数がいくつあるかを、ゼータ関数の零点（関数がゼロになる点）を使って表す公式を、リーマンは1859年の論文で得ました［5］。

予想の内容

リーマン予想は、この関数の自明でない零点の実部が、すべて1/2だと主張する、と説明されます［5］。ここでは、零点が一つの直線の上にきれいに並ぶ、という予想だと受けとってください。

素数の個数を表す公式が零点で書けるので、零点の位置が分かれば、素数の分布についてもより多くが分かる、というつながりです。素数と関数という、別々に見える二つが、こうしてつながります。

リーマンは1859年の論文で、ある限界までの素数の個数を、ゼータ関数ζ(s)＝Σ1/nˢの零点で表す解析的な公式として示した［5］。素数の個数は、零点の位置と結びついている。だからこそ、零点がどこにあるかが問題になる。

リーマン予想は、ゼータ関数の自明でない零点の実部がすべて1/2である、と主張する［5］。零点の位置が分かれば素数分布への理解が深まる、という構図が、この問題を賞金つきの問いにしている。

次は、素数から水へ。身近な流れをめぐるナヴィエ–ストークス方程式を読む。

コップの 水を スプーンで まわすと、うずが できます。この ような 水や 空気の うごきは、ナヴィエ–ストークスほうていしきと いう 式で あらわされます。ニュートンの 「力は、ものの 重さと うごきの はやさの かわりかたで きまる」という きまりを、水の 小さな ひとかたまりに 当てはめた ものです［6］。

問いは、この 式の こたえが、ずっと なめらかな まま つづくのか、それとも どこかで こわれてしまう ことが あるのか、です［6］。

「水の うごきが よそくできない」と いう 話では ありません。なめらかな こたえが、ずっと あり つづけるのか。それが 問いです。

コップの渦と、方程式

ナヴィエ–ストークス方程式は、水や空気のように、体積が縮まない流体の速度と圧力の動きを表します。ニュートンの運動の法則（f＝ma）を、流体の小さな一部分に当てはめたものです［6］。台所でスプーンを回したときにできる渦も、この方程式の世界の話です。

問われているのは「なめらかさ」

CMIの問題は、3次元で、なめらかな初期条件と外力から出発したとき、すべての時刻でなめらかな解が存在するのか（存在するなら証明する）、それとも解が壊れる例があるのか、を問います［6］。「流れが予測できない」という意味ではありません。

CMIのページは、なぜ証明を求めるのかを、証明は確かさだけでなく理解も与えるから、と述べます［7］。

次は、曲線の上にある「分数の点」についての問いです。

ナヴィエ–ストークス方程式は、非圧縮性の流体の速度と圧力の運動を記述する。ニュートンの法則f＝maを流体の一部分に当てはめたものだ［6］。CMIの問題は、3次元空間で、滑らかな初期条件と外力から出発して、すべての時刻で滑らかな解が存在するか、それとも解が壊れる例（解の破綻）があるかを問う［6］。

誤解しやすいのは、「流体の運動は予測できるか」という問いではない点だ。問われているのは、方程式の滑らかな解が、いつまでも存在し続けるかどうかである。CMIのページは、解は存在するか、一意かと問い、証明を求める理由を「証明は確かさだけでなく、理解も与えるから」と説明する［7］。

次は、代数の問題であるBSD予想を読む。

グラフの 上に、たてと よこが どちらも ぶんすうで あらわせる 点を さがす、と 考えて ください。そんな 点が、ひとつも ないのか、少し あるのか、かぎりなく あるのか。BSDよそうは、その 数を さぐる 問いです。

その 曲線は、えんきょくせんと いう 形の ものです。かんたんな 式で 書けますが、点の 数を 知るのは、むずかしい ことが あります［8］。

ここでは、この 予想が、ある べつの 式が ゼロに なるかどうかで、点が かぎりなく あるかを 言いあてる、と いう ものだと おぼえて おけば じゅうぶんです［8］。

曲線の上の有理点

ここでは、判別式が0でない、y²＝x³＋ax＋bの形の曲線を楕円曲線といいます。その上にある点のうち、座標がどちらも分数で表せるものを有理点と呼びます。有理点の集まりは、有限個の点を除いて、整数の組の集まりZʳと同じ形をしており、このrを階数と呼びます。階数が0であることと、有理点が有限個であることは同じ意味です［8］。

予想の中身

BSD予想は、L関数というものをs＝1のあたりで展開したときの最初の項が、(s－1)のr乗の形になり、そのrが階数に等しいと主張します。特に、L(C,1)＝0であることと、有理点が無限にあることが同じ意味だと述べます［8］。

点を「見つける」のは別の話

曲線の種類によっては、有理点は有限個しかないと分かっています。1983年にファルティングスが、種数が2以上の曲線の有理点は有限個だと証明しました。しかしその証明からは、有理点を実際に見つける方法は得られません［8］。

次は、図形の形と代数の関係をめぐる、ホッジ予想とヤン–ミルズ理論です。

楕円曲線C（y²＝x³＋ax＋bの形）の有理点の集まりC(Q)は、有限個の捻れ点を除きZʳと同型になり、rを階数と呼ぶ。rが0であることとC(Q)が有限であることは同値だ［8］。BSD予想は、L関数L(C,s)をs＝1で展開すると、c(s－1)ʳ＋高次の項（c≠0）となり、rがC(Q)の階数に等しいと主張する。特にL(C,1)＝0であることと、C(Q)が無限集合であることが同値だという［8］。

なぜ有理点の個数が問題なのか。モーデル予想は、種数2以上の曲線では有理点が有限個だと主張し、1983年にファルティングスが証明した。しかしその証明は非有効的で、有理点を実際に見つけるアルゴリズムは得られていない［8］。そこで、階数という別の量とL関数の値を結びつけるのがBSD予想である。

次は、残る2問、ホッジ予想とヤン–ミルズ理論を続けて読む。

ホッジよそうは、ふくざつな 形を 調べる 数学の 中に ある 予想です。むずかしいので、ここでは 「形と 式の つながりを 問う 問い」とだけ おぼえて ください［9］。

ヤン–ミルズりろんは、「つよい 力」を せつめいする ための 考えです。この りろんが ただしい ためには、いちばん 小さな ゆれにも、ゼロより 大きな エネルギーが ある ことが ひつようだと されます。それを 「しつりょうギャップ」と いいます［10］。

ホッジよそうは 形と 式の つながりを、ヤン–ミルズりろんは 「つよい 力」に かかわる 小さな つぶの ことを、たずねて います。

ホッジ予想

ホッジ予想は、複素代数多様体（ここではコンパクトなケーラー多様体）のコホモロジーを(p,q)型に分けて考える枠組みの中で、代数的な形に由来する類をめぐる予想です［9］。ドリーニュの解説によると、H²の場合は、コダイラとスペンサーが証明しています［9］。専門的な内容なので、ここでは大づかみにとどめます。

ヤン–ミルズ理論と質量ギャップ

ヤン–ミルズ理論は、強い力を量子のレベルで説明する理論です。ジャッフェとウィッテンの解説によると、この理論が成り立つためには、真空の励起がすべて、ある正のエネルギーΔ以上をもつという性質（質量ギャップ）や、クォークの閉じ込めなどの性質が必要とされます［10］。

ここまで6問。どれも、身近な場面の奥に、まだ答えの出ていない問いが続いています。

ホッジ予想は、複素代数多様体（コンパクトなケーラー多様体の場合）のコホモロジーを(p,q)型に分解する枠組みの中で、代数的な形に由来する類を扱う予想だ。ドリーニュの解説では、H²の場合はコダイラとスペンサーが証明したとされる［9］。

ヤン–ミルズ理論は、強い力を量子論の水準で説明するために、質量ギャップとクォークの閉じ込めなどの性質を要請する。質量ギャップとは、真空の励起がすべて少なくともあるエネルギーΔ＞0をもつということだ［10］。

6問を通して見ると、P対NPは計算、リーマン予想は素数、ナヴィエ–ストークスは流体、BSD予想とホッジ予想は代数と幾何、ヤン–ミルズは素粒子と、対象はばらばらだが、いずれも「存在するか」「成り立つか」を証明で確かめる問いである点で共通している。

コップに 水を 入れて、スプーンで ゆっくり まわしてみましょう。うずが できたら、まわす のを やめて、水の うごきが どう かわるか 見ます。

こぼれたり 手が ぬれたり しない ように、おふろ場や テーブルの 上に タオルを しいて おこなって ください。

この うごきを 式で あらわす ことは できます。でも「その 式の こたえが、ずっと なめらかな まま つづくか」は、まだ 分かって いません。

コップに水を入れ、スプーンでゆっくり回してみましょう。渦ができたら、回すのをやめて、水の動きがどう変わっていくかを観察します。水がこぼれないよう、タオルを敷いて行ってください。

この動きを表す方程式はあります。しかし、その方程式のなめらかな解が、すべての時刻で存在するのかは、ナヴィエ–ストークス方程式の問いとして残っています［6］。目の前の小さな渦の奥に、100万ドルの問いがあります。

もうひとつ、紙にできる観察があります。1から100までの数を書き、素数に丸をつけて、丸と丸のあいだがどれくらい空いているかを眺めてみてください。並び方に、きまりがあるように見えるでしょうか。

観察するなら、コップの水をスプーンで回して渦をつくり、回すのをやめたあとの水の動きを見る。水がこぼれないようタオルを敷く。この運動を記述する方程式は知られているが、滑らかな解が全時間で存在するかは、ナヴィエ–ストークスの問いとして未解決である［6］。

資料を読むなら、CMIのミレニアム懸賞問題のページ［1］から各問題の公式解説へ進める。P対NPはクック［4］、リーマン予想はボンビエリ［5］、ナヴィエ–ストークスはフェファーマン［6］、BSD予想はワイルズ［8］、ホッジ予想はドリーニュ［9］、ヤン–ミルズ理論はジャッフェとウィッテン［10］による解説で、いずれも英語だ。1問だけ選んで問題文の冒頭を読むと、問いの形の違いがつかめる。