1. El ratón, la persona y el caballo: lo que escribió Haldane sobre el tamaño
Haldane explica que, si divides la longitud, la anchura y la altura de un animal entre diez, su peso se reduce a la milésima parte, pero su superficie solo a la centésima. Por eso, dice, la resistencia a caer es en el animal pequeño unas diez veces mayor en proporción a la fuerza que lo empuja hacia abajo [3]. Dicho de otro modo, el aire frena a un animal pequeño con mucha más fuerza, en proporción a su peso, que a uno grande.
Ojo: Haldane habla aquí de la caída y de la resistencia del aire. Que un animal salga ileso también depende de otras cosas, como la resistencia de los huesos, y este artículo no las trata.
2. Por qué al duplicar el tamaño la superficie se multiplica por 4 y el peso por 8
Imagina dos objetos del mismo material y la misma forma, uno el doble de largo que el otro. Tiene el doble de largo, el doble de ancho y el doble de alto. Su superficie frente al aire es 2 × 2 = 4 veces mayor. Pero su volumen es 2 × 2 × 2 = 8 veces mayor y, como el material es el mismo, también pesa 8 veces más. Si el aire empuja en proporción a la superficie (veremos en el apartado 3 que esto es una aproximación), el peso gana la carrera: el aire empuja 4 veces más, pero hay que frenar 8 veces más peso.
| Longitud | Superficie | Volumen (peso) | Fuerza del aire respecto al peso |
|---|---|---|---|
| 1 vez | 1 | 1 | 1 |
| 2 veces | 4 | 8 | 1/2 |
| 10 veces | 100 | 1000 | 1/10 |
Es un cálculo nuestro, hecho a partir de la geometría. Es la misma idea de Haldane [3], vista desde el lado contrario: al multiplicar la longitud por 10, la superficie se multiplica por 100 y el peso por 1000.
3. Qué es la resistencia del aire y de qué depende
La resistencia del aire (en física, «arrastre») es la fuerza que el aire hace sobre un objeto que se mueve en él, en sentido contrario al movimiento. La NASA la resume con una fórmula: el arrastre es igual a un coeficiente de arrastre (Cd) por la densidad del aire, por la mitad del cuadrado de la velocidad (la del objeto respecto al aire), por un área de referencia [1].
D = Cd × ½ × ρ × V² × A
Aquí importan dos cosas. Primera: el arrastre crece con el cuadrado de la velocidad. Si vas al doble de velocidad, el aire te frena cuatro veces más. Segunda: crece con el área A. El coeficiente Cd reúne el efecto de la forma, la inclinación, la viscosidad del aire y otros factores, y casi siempre se determina con experimentos en túnel de viento [1]. En nuestro cálculo del apartado 2 supusimos que Cd no cambia al hacer el objeto más grande. Es una simplificación.
4. Por qué un objeto que cae deja de acelerar: la velocidad terminal
Un objeto que cae sufre dos fuerzas: su peso, hacia abajo, y el arrastre del aire, hacia arriba. Al empezar a caer va cada vez más rápido, y por eso el arrastre también crece. Cuando el arrastre iguala al peso, la fuerza total es cero y el objeto cae a velocidad constante. Esa velocidad se llama velocidad terminal [2].
Según la NASA, la fórmula es V = √(2W / (Cd · ρ · A)), donde W es el peso. De ahí sale que un objeto con mucha área cae más despacio, y que uno más ligero también (con la misma área y el mismo Cd). Su ejemplo: una placa plana grande cae más despacio que una bola pequeña del mismo peso [2]. Un paracaídas aprovecha justo esto: no cambia el peso, pero aumenta el área.
La NASA añade algo que parece contradecir a Galileo: en el vacío no hay arrastre y todos los objetos caen igual; en el aire, no [2].
Aquí aparece la pista de nuestra pregunta: lo que cuenta es el peso dividido entre el área (W/A). Cuanto mayor es, más rápido cae el objeto y menos lo frena el aire.
5. Cuánto más rápido cae un objeto al hacerse más grande, con la misma forma
Si ampliamos un objeto L veces con la misma forma y material, el área crece L² y el peso L³, así que W/A crece como L. Con la fórmula de la NASA y suponiendo Cd constante, la velocidad terminal crece como la raíz cuadrada de L. Este es un cálculo nuestro a partir de la fórmula, no un dato medido:
| Longitud | Velocidad terminal (aprox.) |
|---|---|
| 1 vez | 1 |
| 2 veces | 1,4 veces |
| 4 veces | 2 veces |
| 10 veces | 3,2 veces |
Es decir, un objeto grande no cae «mucho» más rápido, pero sí más rápido. Y como su peso crece más que su superficie, el aire lo frena menos en proporción. Eso responde a la pregunta del título.
6. Las gotas de lluvia como prueba: las más grandes caen más rápido
Una forma de comprobarlo son las gotas de lluvia, que tienen casi la misma forma y distinto tamaño. Una tabla de velocidades de caída en aire en calma, atribuida a las mediciones de Gunn y Kinzer (1949) y reproducida por un meteorólogo del Servicio Meteorológico Nacional de EE. UU., da unos 4,0 m/s para una gota de 1 mm de diámetro, 6,5 m/s para 2 mm y 8,8 m/s para 4 mm [4].
En esta tabla, las gotas más grandes caen más rápido, como dice la regla. Pero el aumento no es exacto. De 2 mm a 4 mm el diámetro se duplica y la velocidad sube solo unas 1,4 veces, cerca de la raíz de 2 de nuestro cálculo (una coincidencia aproximada, no una prueba). De 1 mm a 2 mm sube unas 1,6 veces, algo más. Es de esperar: nuestro cálculo supone Cd constante, y en una gota real la forma y el flujo del aire pueden variar con el tamaño. Esa es una explicación probable, no la hemos comprobado en las fuentes. Por encima de 5 mm la tabla casi no sube más (9,1 m/s a 5 mm) [4].
7. Cuándo «lo grande resiste mejor al aire» deja de ser cierto
La regla vale para objetos con el mismo material y la misma forma. Se rompe en varios casos:
- Mismo tamaño, distinto peso. Una pelota de ping-pong y una bola de acero del mismo tamaño tienen la misma área, pero la de acero pesa mucho más, así que su W/A es mayor y cae más rápido [2].
- Distinta forma. Una hoja de papel extendida cae despacio; la misma hoja hecha una bola cae más rápido. El peso es el mismo, pero cambian el área y el coeficiente Cd [2].
- Tamaños muy pequeños. Para partículas diminutas, como las gotitas de las nubes, pueden pesar más otros efectos del aire, como su viscosidad, y la fórmula de arriba quizá no sirva tal cual. No hemos consultado una fuente para dar cifras.
Además, que un animal grande aguante o no una caída depende de más cosas que el aire, como Haldane menciona al hablar de los huesos [3].
8. Cómo comprobarlo tú mismo con dos hojas de papel
Toma dos hojas iguales. Deja una extendida y haz una bola apretada con la otra. Sostén las dos a la misma altura (a la altura de tu mano levantada; no te subas a ninguna silla) y suéltalas a la vez. ¿Qué llega antes al suelo: la hoja extendida o la hecha bola? Después prueba con una bola más pequeña y más apretada. ¿Cambia algo? Piensa en el peso, el área y la forma. Si quieres ir más lejos, puedes buscar el texto original de Haldane, «On Being the Right Size». Está en inglés [3].