1. Dos preguntas parecidas con respuestas muy distintas
Hay que separar dos preguntas. La primera: «¿hay alguien en el grupo que cumpla años el mismo día que yo?». La segunda: «¿hay dos personas cualesquiera, quienes sean, que coincidan?». La segunda es la del título, y con 23 personas su respuesta es 50,7 %[1].
Es mucho más difícil que alguien cumpla años el mismo día que tú. Si además de ti hay otras 23 personas, la probabilidad de que alguna coincida contigo es de solo un 6,1 % (la fórmula está en la fuente [3]; el valor lo calculé yo). Para que esa probabilidad supere el 50 % hacen falta 253 personas aparte de ti, más o menos dos tercios de los días del año[3]. Es decir, la misma meta del 50 % necesita más de diez veces más gente.
2. Por qué importan las parejas y no las personas
Cuando preguntas por ti, solo comparas tu fecha con la de cada una de las otras 23 personas: son 23 comparaciones. Cuando preguntas por cualquier coincidencia, hay que comparar a todos con todos. Entre 23 personas hay 23 × 22 ÷ 2 = 253 parejas posibles[2], y cada pareja es una oportunidad de coincidir. Es más de diez veces el número de comparaciones de la primera pregunta.
Una forma de verlo: en una fiesta, saludarte con cada invitado es poco trabajo, pero que todos se saluden entre sí produce muchísimos saludos. Cada saludo extra es una nueva oportunidad de que salga una fecha repetida. La intuición suele contar solo los saludos que te tocan a ti.
3. Cómo se calcula la probabilidad de que dos coincidan
Contar directamente todas las maneras de que alguien coincida es complicado. Es más fácil calcular lo contrario, que todos cumplan años en días distintos, y restarlo de 1[3]. Se supone un año de 365 días en el que cada fecha es igual de probable.
La primera persona puede cumplir en cualquier día. La segunda debe evitar ese día: tiene 364 de 365 opciones. La tercera debe evitar los dos anteriores: 363 de 365, y así sucesivamente. Al multiplicar los 23 factores, la probabilidad de que todos sean distintos es de un 49,3 %. La probabilidad de que haya al menos una pareja coincidente es 100 % − 49,3 % = 50,7 % (cálculo propio, que coincide con el valor de la fuente [1]). Con 22 personas sale un 47,6 %, así que 23 es el primer tamaño de grupo que pasa del 50 %.
El efecto crece muy rápido con el número de personas (cálculo propio con la misma fórmula):
| Personas | Probabilidad de al menos una coincidencia |
|---|---|
| 10 | 11,7 % |
| 20 | 41,1 % |
| 23 | 50,7 % |
| 30 | 70,6 % |
| 50 | 97,0 % |
| 70 | 99,9 % |
Para un salón de 30 estudiantes, la probabilidad ronda el 70 %[4].
4. Qué supuestos simplifican la cuenta en la vida real
La cuenta supone que no existen los años bisiestos, que ningún grupo tiene gemelos y que se nace con la misma frecuencia todos los días. En la realidad no es así: hay meses y días de la semana con más nacimientos que otros. Matemáticamente, esas irregularidades hacen más probable la coincidencia, no menos, así que el 50 % de 23 personas no es una exageración (esto último es un resultado matemático conocido; no lo comprobé en detalle en las fuentes de abajo). Por eso, con grupos reales, conviene esperar «más o menos» lo que dice la tabla y no valores exactos: un grupo concreto puede quedar por encima o por debajo.
5. Qué tiene que ver esto con las claves y firmas digitales
Los sistemas informáticos convierten datos largos en una huella digital corta, llamada hash. Dos datos distintos con la misma huella son una «colisión», y eso es un problema. Sustituye los 365 días por todas las huellas posibles y las personas por los datos que se prueban: la colisión aparece con muchos menos intentos que el total de huellas posibles. Si la huella tiene l bits, bastan unos 2l/2 intentos para encontrar una colisión con un 50 % de probabilidad, frente a un orden de 2l intentos para encontrar un dato con una huella fijada de antemano[4]. Con 64 bits, 232 son unos 4.300 millones de intentos.
A esto se le llama «ataque del cumpleaños». Puede afectar a algunas firmas digitales, pero no sirve para romper un cifrado más rápido que probando todas las claves posibles[4]. Esa es la razón por la que se usan huellas más largas.
6. Cómo comprobar tú mismo la cuenta con listas reales
Busca una lista pública con fechas de nacimiento, como una plantilla de un equipo deportivo, y cuenta cuántas parejas comparten día. También puedes simularlo sin usar datos de personas: con una hoja de cálculo, genera 23 números aleatorios entre 1 y 365 muchas veces y cuenta en cuántas tandas se repite alguno. Debería ser algo más de la mitad. Los cumpleaños de personas que conoces son datos personales: pregunta antes de usarlos. Y si en tu clase de 30 no hay ninguna pareja, no te extrañes: la tabla dice 70 %, no 100 %.