1. Lotería con 2 premios entre 10 boletos: ¿cuál es la probabilidad de ganar en cada intento?
Imaginemos una lotería donde hay 2 boletos ganadores entre 10. Después de cada extracción, el boleto se devuelve a la bolsa. La probabilidad de ganar en un solo intento es de 2/10, es decir, 0.2. La probabilidad de que dos personas seguidas no ganen es 0.8 multiplicado por 0.8, lo que da 0.64, o aproximadamente el 64%. Por lo tanto, la probabilidad de que al menos una de las dos personas gane es solo del 36% restante. Con tan pocos intentos, no es extraño que nadie gane. Entonces, ¿en qué número de intento esperamos ganar en promedio?
2. Qué significa que el promedio para ganar sea 5 intentos (y qué no significa)
Cuando se devuelve el boleto, la probabilidad de ganar no cambia en cada intento. El promedio de intentos hasta obtener el primer premio es 1 dividido por 0.2, lo que resulta en 5 intentos [6]. Si usáramos un dado y esperáramos el número 1, el promedio sería de 6 intentos. Sin embargo, decir "promedio 5 intentos" no significa que ganarás necesariamente dentro de los primeros 5. La probabilidad de fallar 5 veces seguidas es 0.8 elevado a la quinta potencia, aproximadamente 0.33. Esto significa que una de cada tres veces, no ganarás tras 5 intentos. Si no se devuelven los boletos, la probabilidad de ganar aumenta con cada intento porque quedan menos perdedores. En una lotería de 10 boletos con 2 premios, hay 45 combinaciones posibles para la posición del primer ganador, y la media de esa posición es 11/3, es decir, aproximadamente el intento 3.7 [7]. Esto es más rápido que cuando se devuelven los boletos. Ten en cuenta que este es un cálculo idealizado y no garantiza las probabilidades de sorteos reales.
3. Los lanzamientos de moneda de Buffon (4,040) y de Pearson (24,000): ¿cuántas caras salieron?
El conde de Buffon lanzó una moneda 4,040 veces y obtuvo cara 2,048 veces. La proporción fue de aproximadamente 0.507 [4]. Karl Pearson lanzó una moneda 24,000 veces y obtuvo cara 12,012 veces, con una proporción de aproximadamente 0.5005 [4]. Estos números provienen de un artículo de JSTOR Daily. La proporción de Pearson se acercó más a 0.5. Sin embargo, la diferencia entre el número de caras y la mitad exacta fue de 28 veces para Buffon y de 12 veces para Pearson. La diferencia absoluta no siempre se hace más pequeña; a veces crece o decrece. Lo que se acerca a la probabilidad es la proporción, no la diferencia en número de veces. En un estudio donde se lanzaron monedas reales 357,057 veces, se reportó que la proporción de que la moneda caiga en el mismo lado en el que comenzó es de 0.508 [8]. En este estudio, la desviación fue mínima y no es un resultado de que sea más fácil obtener cara.
4. Si sale cara 4 veces seguidas, ¿es más probable que la siguiente sea cruz?
Con una moneda justa, aunque salga cara 4 veces seguidas, la probabilidad de que salga cara en el quinto lanzamiento sigue siendo 1/2 [5]. La idea de que "ahora toca cruz" se conoce como la falacia del jugador. ¿Esto contradice la Ley de los Grandes Números? Según los documentos, no existe un principio que garantice que unas pocas observaciones coincidan con el valor esperado, ni que una racha sesgada se compense inmediatamente con la contraria [3]. Por ejemplo, supongamos que en los primeros 10 lanzamientos salen 8 caras. La proporción es 0.8. Si en los siguientes 990 lanzamientos sale exactamente la mitad de caras, el total será de 503 caras en 1,000 lanzamientos, y la proporción será 0.503. Este es un cálculo hipotético para entender el concepto: la desviación no se cancela, sino que se diluye.
5. Jacob Bernoulli demostró la Ley de los Grandes Números y Poisson le dio su nombre
Quien demostró por primera vez rigurosamente la Ley de los Grandes Números fue Jacob (Jacques) Bernoulli. Se dice que él la llamó "Teorema de Oro" y que fue un problema en el que trabajó durante 20 años [2]. Su obra Ars Conjectandi fue publicada 8 años después de su muerte, en 1713, por su sobrino Nicolaus [2]. El nombre "Ley de los Grandes Números" fue dado por Poisson en 1837 [3]. Esta ley tiene condiciones: cada resultado no debe influir en los otros y las pruebas deben tener la misma probabilidad [9].
6. Cómo usan la Ley de los Grandes Números los seguros y las tiendas con grupos de personas
Se dice que el sistema de seguros también se basa en la Ley de los Grandes Números. No se sabe cuándo ocurrirá un evento para una sola persona, pero al reunir a muchas personas, la proporción por edad y género se acerca a un valor constante. Por eso se pueden calcular las primas [1]. En la ruleta, no se puede predecir una sola victoria o derrota. Sin embargo, se dice que las ganancias de la casa se acercan a una proporción predecible cuando hay muchas jugadas [3]. Aunque no se conozcan los resultados individuales, al aumentar el grupo o el número de intentos, la proporción se vuelve visible.
7. Experimento: compara la proporción de caras en 10 y en 100 lanzamientos de tu moneda
Realiza este experimento tres veces: lanza una moneda 10 veces y registra cuántas veces sale cara. Luego, lanza la moneda 100 veces seguidas y registra la proporción de caras. Compara cómo varía la proporción entre los registros de 10 lanzamientos y los de 100. Al lanzarla, hazlo desde poca altura, como si la dejaras caer al suelo, y nunca la lances hacia tu cara o tus ojos. Si quieres comprobarlo más a fondo, lanza series de 10 y series de 100 varias veces y compara cómo se dispersan las proporciones de caras. Comprueba si las series con más lanzamientos muestran una tendencia a agruparse alrededor de 0.5. Para tu seguridad, asegúrate de no lanzar la moneda hacia la cara ni los ojos.