1. Cómo Tales calculó la altura de las pirámides usando la longitud de su sombra
Se cuenta que el erudito griego Tales midió la altura de las pirámides mediante sus sombras [1]. Se dice que logró medir edificios enormes, difíciles de escalar o de medir con una cuerda desde la punta, utilizando únicamente la longitud de la sombra proyectada en el suelo. Existen dos métodos transmitidos por la tradición. El primero consiste en esperar el momento del día en que la sombra de una persona tiene la misma longitud que su estatura, y medir entonces la sombra de la pirámide. El segundo método implica clavar una vara vertical al mismo tiempo y comparar la sombra de la vara con la de la pirámide, utilizando la similitud de dos triángulos rectángulos para calcular la altura [1].
Esto es posible porque, a la misma hora, la luz solar incide en la misma dirección sobre la vara y la pirámide. Como la inclinación de la línea que une la punta de la sombra con la cima es idéntica en ambos casos, se establece la proporción: «altura de la vara : sombra de la vara = altura de la pirámide : sombra de la pirámide». Si la sombra de la vara es el doble de su altura, la sombra de la pirámide también será el doble de su altura. Cabe destacar que esto es una leyenda; no han sobrevivido escritos propios de Tales [1]. Aunque no se puede afirmar con certeza, aquí vemos la primera forma de la idea de sustituir una altura inalcanzable por una longitud alcanzable. Pero, ¿qué hacemos con las montañas donde las sombras no son útiles?
Nota: Los triángulos rectángulos con la misma inclinación son similares, es decir, tienen la misma forma pero diferente tamaño.
2. Cómo medir la altura de una montaña alineando árboles y cimas, sin usar sombras
En el antiguo libro de matemáticas chino *Jiuzhang Suanshu* (Los nueve capítulos sobre el arte matemático) se describe cómo medir la altura de una montaña. La técnica consiste en moverse hasta un punto donde la punta de un árbol situado frente a la montaña coincida visualmente con la cima. Desde esa posición, se mide la distancia hasta el árbol y hasta la montaña, y se calcula la altura usando la similitud de triángulos rectángulos [2].
La línea de visión desde el ojo hasta la punta del árbol y la cima de la montaña es una sola línea recta. Por ello, el pequeño triángulo rectángulo formado por el observador y el árbol es similar al gran triángulo que incluye la montaña. Como la altura del árbol cercano se puede medir con una regla, la relación de distancias permite estimar la altura de la montaña. Este método usa la misma idea de «proporción» que las sombras, pero funciona incluso sin sol. Sin embargo, no siempre hay un árbol en la posición ideal. La explicación de la Biblioteca Nacional de la Dieta de Japón indica que, en lugar de usar un árbol natural, se puede emplear un instrumento llamado *shihōku* (un tipo de escuadra o regla de medición) para medir la altura de la montaña desde cualquier lugar [2]. Al cambiar el punto de referencia de un árbol a un instrumento, se elimina la necesidad de elegir cuidadosamente el lugar de medición.
Entonces, ¿qué tan preciso es medir una montaña alta con instrumentos? En el período Edo de Japón, hubo personas que midieron el Monte Fuji.
3. Cómo Inō Tadataka midió la altura del Monte Fuji con ángulos de visión
Inō Tadataka fue una persona que recorrió todo Japón para crear mapas. Calculó la altura del Monte Fuji utilizando distancias medidas en el suelo, acimutes y el ángulo de elevación, obteniendo un valor de 3,928 metros [3]. El valor utilizado actualmente es de aproximadamente 3,776 metros, basado en mediciones de 1926, y fue corregido a 3,775.51 metros en 2014 [3]. La diferencia es de unos 150 metros, lo que representa aproximadamente el 4% del valor actual (el cálculo es (3,928 − 3,776) ÷ 3,776). El principio es el mismo que el de superponer el árbol y la cima: si se conocen el ángulo de elevación y la distancia horizontal hasta la base de la montaña, se puede calcular el lado de la altura. No obstante, las fuentes consultadas no explican la causa exacta de esta desviación de 150 metros, por lo que no se determinará aquí. Lo que sí sabemos es que, con distancias, acimutes y ángulos de visión, las personas del período Edo se acercaron a la altura real del Fuji dentro de un margen del 4%. Pero, ¿cómo se determina el valor actual?
4. Cómo se obtiene la altitud sumando pequeños desniveles con la nivelación geométrica
Las altitudes actuales en Japón se obtienen mediante nivelación geométrica. Según la Agencia Geoespacial de Japón, se colocan reglas graduadas (estadal) en dos puntos y se coloca un nivel óptico horizontalmente entre ellos para leer las marcas en ambas reglas. La diferencia entre las lecturas indica la diferencia de altura entre los dos puntos [4]. Este proceso se repite tramo por tramo, partiendo de un punto de nivel con altitud conocida y sumando las diferencias de altura para obtener la altitud de nuevos puntos [4]. Es como una escalera: si se conoce la altura de cada escalón con una regla, se puede saber la altura del piso superior contando y sumando los escalones. A diferencia de una escalera real, la diferencia de altura de cada tramo se obtiene mediante la lectura de las marcas.
El punto de partida para estas sumas es el Origen de Nivel de Japón, ubicado en Nagatachō, Chiyoda, Tokio. Fue establecido en 1891 y su altitud actual es de 24.3900 metros [5]. Las altitudes en Japón se definen como la altura sobre el nivel medio del mar de la bahía de Tokio [5]. Este método de sumar pequeñas diferencias es laborioso, pero permite avanzar verificando cada paso. Pero, ¿cómo se mide la altura de lugares lejanos donde no podemos caminar y sumar? Hoy en día, también usamos la ayuda de satélites en el espacio.
5. Cómo se calcula la altitud con satélites restando la altura del geoide a la altura elipsoidal
El posicionamiento por satélite (GNSS) no proporciona directamente la altitud. Los datos del GNSS ofrecen la altura sobre un elipsoide suave que representa la Tierra (altura elipsoidal). Para obtener la altitud, se debe restar la altura del geoide según un modelo de geoide [4]. El geoide se considera una superficie que extiende el nivel medio del mar bajo la tierra. Como la altura medida desde el satélite y la altitud estándar en Japón (referida al nivel del mar) se basan en superficies diferentes, se conectan mediante una resta. La Agencia Geoespacial de Japón ha explicado que, a partir del 1 de abril de 2025, las altitudes de los puntos de control se revisaron basándose en el posicionamiento por satélite [4]. La cantidad que baja la altitud varía según el lugar; en los cálculos preliminares, se estima una reducción de unos 40 cm en la región de Doto. En lugar de caminar y sumar, usamos la posición del satélite y una resta para encontrar la altura. Esto es una extensión de la idea de sustituir una altura no medible directamente por «cantidades medibles». Pero, ¿con qué precisión se usan estas cantidades en las torres que construimos hoy?
6. Cómo se construyó el Tokyo Skytree de 634 metros con un error de menos de 2 centímetros
El Tokyo Skytree alcanzó una altura de 634 metros el 18 de marzo de 2011. La empresa constructora, Obayashi Corporation, explica que la estructura de acero se ensambló con un error de menos de 2 cm respecto a los 634 metros [8]. En términos de proporción, esto es aproximadamente 0.003% (2 ÷ 63,400), o una parte en 30,000. La precisión fue posible gracias a la estación total (instrumento de medición óptica 3D) que mide las coordenadas de dos puntos en las columnas. Los valores medidos se calculaban en tabletas para obtener correcciones que ajustaban la torsión o la inclinación [8]. El proceso consistía en construir hacia arriba, medir, calcular y corregir. Aquí, la medición no es solo una tarea para conocer la altura una vez, sino una herramienta que se usa continuamente durante la construcción. Entonces, ¿cómo se determinó la altura de la montaña más alta del mundo con estas herramientas?
7. Por qué los 8848.86 metros del Everest se miden sobre la altura de la nieve
El 8 de diciembre de 2020, China y Nepal anunciaron conjuntamente que la altitud del Everest es de 8848.86 metros. Este valor es 0.86 metros mayor que los 8848 metros reconocidos anteriormente [6]. Para la medición se utilizaron datos de nivelación, gravedad y GPS [6]. Esto significa que la «suma de desniveles» y los «satélites» que hemos visto se usaron juntos en la montaña más alta del mundo. Sin embargo, este valor es la altura de la superficie nevada de la cima, conocida como altura de la superficie de la nieve. Un estudio de 2023 afirma que la altura de la roca bajo la nieve no está determinada debido a que se desconoce el grosor de la nieve [7]. La respuesta cambia dependiendo de si medimos la «superficie de la nieve» o la «roca». Este artículo no determina qué causó la diferencia de 0.86 metros. Para interpretar la altura, conviene indicar qué superficie se midió.
8. Cómo medir la altura de árboles o postes cercanos usando sombras, como hizo Tales
El método de Tales puede replicarse cerca de casa. En un día soleado, párate en un terreno plano y observa tu sombra. Espera el momento en que la longitud de tu sombra sea igual a tu estatura. Recuerda no mirar directamente al sol. En ese momento, mide la longitud de la sombra de un árbol o poste cercano usando tus pasos o una cinta métrica. Si la sombra y la estatura son iguales, la sombra se extiende con casi la misma proporción, por lo que la longitud de la sombra es una estimación de la altura del objeto. Dado que el borde de la sombra es difuso, el valor es solo una aproximación. Si deseas investigar más, puedes leer sobre la medición de la altura de montañas y el uso del *shihōku* en el capítulo 4 (Matemáticas japonesas) de «La historia de las matemáticas» de la Biblioteca Nacional de la Dieta [2], y sobre el uso de estadales y niveles en la página de nivelación de la Agencia Geoespacial [4]. Al ver desde qué superficie se mide la altitud de una misma montaña, los números cambian ligeramente de significado.