1. Qué es un sistema de numeración y cuándo se pasa a la siguiente posición
El número 0.1 en base 10, si se escribe en base 2, no se divide exactamente; en cambio, produce una secuencia que se repite indefinidamente [4]. Además, la especificación de color de una página web «#FF0000» representa el rojo gracias al mecanismo de los sistemas de numeración [5]. Para entender por qué ocurre esto, primero veamos qué es un «sistema de numeración».
El «sistema decimal» utiliza los 10 dígitos del 0 al 9 y avanza a la siguiente posición al llegar a 10. Por ejemplo, el número 365 se compone de tres centenas, seis decenas y cinco unidades, es decir, 3×100 + 6×10 + 5×1. Un sistema «base N» es aquel donde la posición sube al llegar a N. A este número N se le llama «base» (o «radix»). En un sistema base N, se usan los dígitos del 0 al N−1 y se avanza de posición al llegar a N [1].
Por ejemplo, en el sistema de numeración en base 2, solo se usan los dígitos 0 y 1, y la posición sube al llegar a 2. El «10» en base 2 equivale al 2 en decimal. Entonces, además del sistema decimal, ¿qué otros sistemas se utilizan?
2. Por qué se usaron la base 60 y la base 12: tenían muchos divisores
Los «minutos» y «segundos» de los relojes son un sistema base 60, donde la posición sube al llegar a 60 [1]. Se cree que la idea del sistema base 60 proviene de los antiguos babilonios de Mesopotamia, quienes utilizaban un sistema posicional. Combinaban dos tipos de signos cuneiformes para escribir los números del 1 al 59 [2].
Existen varias teorías sobre por qué se eligió el 60. Una explicación es que, como el 60 es divisible por 2, 3 y 5, permitía expresar muchas fracciones en forma finita. Otras teorías sugieren que fue una mezcla de culturas que usaban sistemas base 12 y base 5 al contar con los dedos, o que surgió de conceptos astronómicos y geométricos; no hay un consenso definitivo [2]. Hoy en día, el sistema base 60 persiste en el tiempo (60 segundos, 60 minutos) y en los ángulos (una vuelta completa es de 360 grados) [2].
¿De dónde viene el sistema base 12? El número 12 es divisible por 1, 12, 2, 3, 4 y 6, lo que facilita dividirlo en tercios o cuartos. Se usa en contextos cercanos como la docena (12 unidades), la gruesa (144 unidades), los 12 números del reloj (para medio día), los 12 meses del año, 1 pie = 12 pulgadas y los 12 animales del zodiaco chino [3].
Sobre su origen, existen varias explicaciones, como que hay aproximadamente 12 lunas llenas y nuevas en un año, o su relación con los calendarios de Mesopotamia [3]. Así, los números con muchos divisores, por ser prácticos, han perdurado en usos como relojes y calendarios. Pero, ¿por qué se eligió el sistema de numeración en base 2 para las computadoras?
3. Por qué las computadoras usan la base 2: la electricidad tiene dos estados, encendido y apagado
Los circuitos digitales de las computadoras manejan estados físicos limitados a solo dos condiciones, como «voltaje alto» o «voltaje bajo». Por eso, el sistema de numeración en base 2, que solo usa 0 y 1, encaja perfectamente [4].
A un dígito del sistema de numeración en base 2 se le llama «bit», y a 8 bits se les llama «byte» [4]. Por ejemplo, el número 192 en decimal es 11000000 en base 2 [4].
La idea del sistema de numeración en base 2 existe desde la antigüedad. Se considera que una de las descripciones más antiguas proviene de Pingala, en la India, alrededor del año 200 a.C., quien desarrolló un método para representar ritmos de poesía con números. También se ha visto que los trigramas (equivalentes a 3 bits) y los hexagramas (equivalentes a 6 bits) del I Ching chino pueden interpretarse como secuencias binarias [4].
En el siglo XVII, el matemático Leibniz formalizó el sistema que representa números solo con 0 y 1, y se dice que asoció los trigramas del I Ching con las secuencias 000 a 111 [4]. En 1937, Claude Shannon demostró que los circuitos de interruptores, como los relés, podían diseñarse con álgebra booleana. Esto sentó las bases de la teoría de las computadoras [4].
Curiosamente, el 0.1 en decimal se convierte en una fracción infinita en base 2: 0.0001100110011…, donde la secuencia «0011» se repite indefinidamente [4]. El sistema de numeración en base 2 tiene la desventaja de que los números tienden a ser largos (como 192 que es 11000000) y son fáciles de leer mal para los humanos. ¿Cómo podemos hacer que esas secuencias largas sean más legibles?
4. Para qué sirve el sistema hexadecimal: escribir números binarios de forma más corta
Los números en base 2 largos se vuelven más fáciles de leer si se dividen en grupos de 4 dígitos. 11000000 se divide en 1100 y 0000. Las secuencias de 4 dígitos de 0 y 1 tienen 16 combinaciones posibles (0000 a 1111, es decir, 2×2×2×2). Si representamos cada una de esas 16 combinaciones con un solo carácter, un número en base 2 de 8 dígitos se reduce a 2 caracteres. Los 16 dígitos necesarios para esto forman el sistema hexadecimal. Por ejemplo, 1100 es C (12) y 0000 es 0, por lo que 11000000 se puede escribir como «C0».
El sistema hexadecimal usa los dígitos del 0 al 9, más las letras A a F (que representan del 10 al 15), sumando 16 dígitos en total. Como 4 dígitos en base 2 corresponden a 1 dígito hexadecimal, se puede escribir de forma más corta que en base 2. Un byte (8 bits) se puede escribir con 2 dígitos hexadecimales [5].
En las páginas web, los colores se especifican en formato «#RRGGBB», usando el sistema hexadecimal para indicar la intensidad de rojo, verde y azul [5]. «FF» es 255 en decimal, el valor máximo que se puede representar con 1 byte. «#FF0000» significa que la intensidad del rojo es máxima y la del verde y el azul es cero, es decir, es rojo.
El sistema hexadecimal también se usa para mostrar el contenido de la memoria de las computadoras [5]. En programación, la forma de escribirlo varía según el lenguaje; por ejemplo, se añade «0x» antes del número, como en 0x1000 [5]. Entonces, ¿cómo se convierten los números de un sistema a otro?
5. Cómo convertir números: división entre 2 para el binario y grupos de 4 dígitos para el hexadecimal
Para convertir de decimal a base 2, se divide el número decimal entre 2, se registran los residuos y, al final, se leen los residuos en orden inverso. Por ejemplo, para el 13: 13÷2 = 6 residuo 1, 6÷2 = 3 residuo 0, 3÷2 = 1 residuo 1, 1÷2 = 0 residuo 1. Al leer los residuos al revés, obtenemos 1101 [1].
Para convertir de base 2 a decimal, se multiplica cada dígito en base 2 por el valor de su posición (1, 2, 4, 8...) y se suman los resultados. Para 1101: 8 + 4 + 0 + 1 = 13 [1].
Para convertir entre base 2 y hexadecimal, al dividir el número en base 2 en grupos de 4 dígitos, cada grupo se convierte directamente en un dígito hexadecimal. 11000000 se divide en 1100 y 0000, que corresponden a C (12) y 0, resultando en C0 en hexadecimal. Esto equivale a 192 en decimal [5]. El número 36864 en decimal es 9000 en hexadecimal [5].
Todos los sistemas vistos hasta ahora comparten el mismo mecanismo de «posicionamiento». Entonces, ¿cuándo y dónde nacieron el posicionamiento y el cero?
6. El sistema de base 20 de los mayas y el origen de la numeración posicional
El número en el que se sube de posición (la base) variaba según la región y la cultura. Aquí veremos primero el sistema base 20 de los mayas como ejemplo, y luego rastrearemos el origen del posicionamiento y el cero.
Los antiguos mayas usaban un sistema base 20, donde la posición subía de 20 en 20, escribiendo de abajo hacia arriba. Usaban un punto para 1, una barra para 5 y una forma de concha para 0. Por ejemplo, el 33 se escribe como «1 veintena y 13 unidades»: un punto debajo de dos barras y tres puntos [6].
Al contar el calendario, modificaban ligeramente el sistema: la segunda posición llegaba hasta 17, y la tercera posición no representaba 20×20 = 400, sino 18×20 = 360. Se explica que esto se hacía para acercarse a la duración de un año [6].
¿Dónde comenzó el sistema posicional y el cero? La versión japonesa de Wikipedia indica que el sistema posicional proviene de la antigua China, donde se usaba el sistema decimal en la dinastía Shang del siglo XIV a.C., y en el siglo IV a.C. existía un sistema posicional que usaba el cero para indicar espacios vacíos [1]. El documento más antiguo sobre el sistema decimal en Europa es un manuscrito español del año 976 [1].
Por otro lado, hay debate entre los investigadores sobre si los mayas inventaron el cero primero, o si la civilización olmeca, que usaba este sistema antes, lo hizo [6]. Dado que las explicaciones varían según la fuente, no se puede determinar con certeza en esta nota dónde nacieron el primer cero o el sistema posicional.
Si te dan ganas de investigar por tu cuenta
El contenido de esta nota se puede verificar mediante cálculos propios. Hoy puedes intentar convertir tu edad al sistema de numeración en base 2. Solo tienes que dividir entre 2 y leer los residuos al revés. La respuesta se puede volver a sumar usando las potencias de 2 para recuperar el número original.
Busca «#FF0000» y verifica el color. Intenta explicar por qué es rojo usando la pista de que «FF es 255» [5]. Intenta escribir 0.1 como una fracción en base 2. Si multiplicas por 2 repetidamente y anotas cada parte entera, verás que la misma secuencia se repite [4].
Una sugerencia para tomar notas: escribir solo una palabra que te haya llamado la atención puede servirte de punto de partida para investigar más tarde. Palabras como «base» o «bit» son suficientes.