1. Qué preguntó Poincaré sobre las formas y las cuerdas
Imagina una goma elástica estirada alrededor de una manzana. Si la mueves despacio, sin romperla y sin separarla de la piel, puedes encogerla hasta dejarla en un punto. Ahora imagina esa misma goma pasando por el agujero de una rosquilla: no hay manera de encogerla hasta un punto sin romper la goma o la rosquilla. Los matemáticos dicen que la superficie de la manzana es «simplemente conexa» y la de la rosquilla no [1].
Poincaré sabía que una esfera de dos dimensiones queda caracterizada por esa propiedad. Se preguntó si pasa lo mismo con la esfera de tres dimensiones: ¿es la única forma cerrada, sin borde y simplemente conexa? Esa pregunta es la conjetura de Poincaré, y resultó ser extraordinariamente difícil [1]. El Instituto Clay de Matemáticas la incluyó en 2000 entre sus siete «problemas del milenio», con un millón de dólares de premio por cada uno [7].
Una forma de tres dimensiones no se puede mirar desde fuera como una manzana. Para estudiarla, los matemáticos usan herramientas como las ecuaciones, y ahí empieza el resto de la historia.
2. Cómo se intenta alisar una forma con el flujo de Ricci
La solución se apoyó en una idea del matemático Richard Hamilton, el flujo de Ricci [1]. La idea es dejar que la geometría de una forma evolucione con el tiempo según una ecuación, de modo que tienda a repartirse de manera más uniforme. Una imagen útil, aunque solo es una comparación: es parecido a lo que pasa cuando un trozo de metal caliente por un lado reparte su calor hasta quedar a la misma temperatura.
Había un problema grave. Mientras la forma se alisa, en algunos lugares la curvatura puede crecer sin límite en un tiempo finito. Se forma entonces una «singularidad» y la ecuación ya no puede continuar [2]. Es como si, al alisar una sábana, se formara un pliegue tan apretado que no se pudiera seguir. Durante años ese pliegue fue la pared contra la que chocó el método.
3. Cómo resolvió Perelman el problema de que la forma se rompe: la «cirugía»
Perelman usó la teoría de Hamilton y la completó [1]. En su primer texto, de 2002, presentó una cantidad que cambia siempre en el mismo sentido mientras la forma evoluciona, válida en todas las dimensiones; él la interpreta como una especie de entropía [2]. Ese texto también controla qué pasa cerca de las singularidades.
En el segundo texto, de 2003, construyó el «flujo de Ricci con cirugías». Él mismo lo describe como un trabajo técnico, continuación del primero [3]. La idea, resumida con palabras nuestras, es esta: cuando aparece una singularidad, en las ecuaciones se elimina la zona cercana a la singularidad, se modifica esa parte y se continúa el flujo. Un tercer texto, de 2003, muestra que en ciertas formas el flujo con cirugías acaba haciendo desaparecer la forma en un tiempo finito [4].
El Instituto Clay resume el resultado así: la solución de Perelman se anunció en textos subidos a arXiv.org en 2002 y 2003, y en ellos también demostró la conjetura de geometrización de William Thurston, de la que la de Poincaré es un caso especial [1]. Es decir, la pregunta de Poincaré se respondió como parte de un resultado todavía más amplio.
4. Cómo comprobaron otros matemáticos que la demostración era correcta
Aquí viene la parte menos conocida. Los textos de Perelman no explicaban todos los pasos en detalle. El primero tiene 39 páginas, el segundo 22 y el tercero 7 [2] [3] [4]. Según Science, el trabajo provocó un gran revuelo, pero faltaban muchos detalles; y tras visitar Estados Unidos en 2003, Perelman volvió a Rusia y dejó de responder a llamadas y correos. Los demás matemáticos tuvieron que decidir por sí mismos si la demostración era correcta [7].
Lo hicieron rellenando los huecos con sus propias manos. En 2006 aparecieron dos trabajos enormes. Bruce Kleiner y John Lott publicaron unas «notas» detalladas sobre los dos primeros textos de Perelman, de 216 páginas, que luego salieron en la revista Geometry & Topology en 2008 [5]. John Morgan y Gang Tian escribieron un manuscrito de 493 páginas con una demostración detallada, desarrollando los argumentos de los tres textos de Perelman y teniendo en cuenta las observaciones de revisores externos [6]. Según Science, a finales de 2006 tres equipos distintos habían rellenado los puntos clave [7]. Las páginas son las de las versiones consultadas y pueden cambiar de una edición a otra.
Fíjate en lo raro de la situación: una persona anuncia la solución y otras, durante años, la comprueban línea por línea.
5. Cuándo se aceptó que el problema estaba resuelto
El 22 de diciembre de 2006, la revista Science eligió la resolución de la conjetura de Poincaré como el «Avance del año» («Breakthrough of the Year») [7]. Al hablar de esa elección, Science dice que los investigadores habían llegado a un consenso: la conjetura estaba, por fin, resuelta [7].
El Instituto Clay tiene una página sobre el problema, marcada como «resuelto», que remite a un comunicado del 18 de marzo de 2010 [1]. No hemos podido leer ese comunicado, así que no contamos aquí los detalles del premio. Lo que sí vimos es que, en la lista de los siete problemas del milenio, el de Poincaré aparece como el único de la categoría de «problemas resueltos» [8]. De los siete problemas, seis siguen sin resolverse.
6. Cómo puedes comprobar tú una explicación, aunque no sea de matemáticas
Puedes probar a pequeña escala lo que hicieron Kleiner, Lott, Morgan y Tian. Elige un ejercicio de matemáticas o de ciencias que ya hayas resuelto y escribe los pasos que seguiste, no solo la respuesta. Pídele a alguien que lo lea y que marque lo que no entiende. Cada marca señala un paso que tú dabas por obvio y habías dejado sin explicar. Si lo escribes, tu razonamiento se vuelve más fácil de comprobar.
Si te pica la curiosidad por los textos originales, están en abierto en arXiv: los tres de Perelman [2] [3] [4], las notas de Kleiner y Lott [5] y el libro de Morgan y Tian [6]. Están en inglés y son muy técnicos, pero los resúmenes del principio se pueden leer en pocos minutos. La página del Instituto Clay [1] es una buena puerta de entrada, también en inglés.