1. Una clase en la que todos dijeron que el cuadrado no es un rectángulo
En una clase, cuando la maestra preguntó: "¿Es un cuadrado un rectángulo?", todos los alumnos respondieron que no, según un informe sobre la enseñanza de la geometría [6]. La razón que dieron fue la imagen visual de que un rectángulo es un "cuadrilátero largo". Esta respuesta es una sensación natural más que un error. Como la palabra "rectángulo" (en japonés, *chōhōkei*, que contiene la raíz de "largo") sugiere longitud, es natural querer llamar de otra forma a una figura donde el alto y el ancho son iguales.
Entonces, ¿cómo define la matemática un rectángulo? No se basa en la imagen visual, sino en condiciones específicas. En la siguiente sección veremos cuáles son esas condiciones.
2. Por qué la definición de rectángulo no exige lados de cierta longitud
La clave son los "4 ángulos rectos". En los ejercicios de segundo grado de primaria, se explica que un cuadrilátero con los cuatro ángulos rectos se llama rectángulo [1]. También se enseña que un cuadrado es un cuadrilátero con los cuatro ángulos rectos y todos los lados de la misma longitud [1]. En los lineamientos curriculares, el cuadrado, el rectángulo y el triángulo rectángulo son parte del contenido de figuras geométricas del segundo grado [3].
Es importante notar que la condición del rectángulo no incluye que "los lados opuestos sean iguales". Que los lados opuestos sean iguales es una consecuencia de tener ángulos rectos, no una condición en sí misma. Si el rectángulo solo se define por los ángulos, la única diferencia con el cuadrado es una sola cosa. El cuadrado es una figura que añade la condición de "todos los lados son iguales". Al tener una condición más, se puede decir que el cuadrado es una figura más especial.
3. Por qué en matemáticas el cuadrado es un rectángulo y en primaria se cuentan por separado
Una figura que añade condiciones no pierde las originales. El cuadrado tiene los cuatro ángulos rectos y los lados iguales. Cumple todas las condiciones del rectángulo (ángulos rectos). Por eso, la Enciclopedia Britannica describe al cuadrado como un "rectángulo con lados iguales", es decir, un tipo especial de rectángulo [4]. El cuadrado también cumple con la definición de diccionario del rectángulo (dos pares de lados paralelos y cuatro ángulos rectos) [5].
Por otro lado, en los ejercicios de segundo grado, hay instrucciones que dicen: "No cuentes los cuadrados dentro del número de rectángulos" al contar figuras en un patrón [2]. Esto es un ejemplo de la instrucción de ese material específico, y no significa que todos los libros de texto o problemas lo hagan así. Hay un artículo que explica que en segundo grado de secundaria se aprende la relación de inclusión, donde el paralelogramo es la figura general y el rectángulo, el rombo y el cuadrado son casos especiales de ella [7]. Parece que el flujo es: en primaria, primero se desarrolla el ojo para distinguir formas; en secundaria, se piensa en las relaciones entre las formas.
4. Qué queda al cortar un cuadrado de un rectángulo
Existe un rectángulo donde el resto es una figura similar a la original. Si cortas un cuadrado cuyo lado es igual al lado más corto de un rectángulo, queda un rectángulo alargado. En un rectángulo normal, el resto es una figura diferente. Sin embargo, en un rectángulo con una altura de 1 y un ancho de aproximadamente 1.618 (rectángulo áureo), el resto es un rectángulo similar al original [9].
Si cortas otro cuadrado del rectángulo restante, queda otra vez una figura similar. Este juego sencillo de cortar un cuadrado de un rectángulo une dos figuras geométricas. Si lo pruebas con un papel A4 común (210 x 297 mm), ¿qué pasa? Si cortas un cuadrado de 210 mm (igual al lado corto), el resto mide 210 x 87 mm. Al dividir el lado largo por el lado corto, el resultado es 2.41, que es diferente a la proporción original de aproximadamente 1.414. Esto significa que el papel A4 no es un rectángulo áureo. Entonces, ¿qué tiene de especial el papel A4?
5. Por qué el papel A4 doblado a la mitad da un rectángulo de la misma forma
El papel A4 mide 210 x 297 mm, y la proporción entre su altura y su ancho es de aproximadamente 1:1.414 (1:√2). Un rectángulo con esta proporción tiene la propiedad de que, al doblar el lado largo a la mitad para dividirlo en dos, el nuevo rectángulo también es similar al original (mantiene la misma forma). A esta proporción se le llama proporción de plata [8].
Hagamos una comprobación. 297 dividido entre 210 es aproximadamente 1.414. Al doblarlo a la mitad, las medidas son 148.5 x 210 mm, y 210 dividido entre 148.5 también es aproximadamente 1.414. La proporción no cambia después de doblar. Al doblar un A4 a la mitad se obtiene un A5, y al doblar un A5 se obtiene un A6; todos tienen la misma forma.
La proporción de plata (aproximadamente 1.414) y la proporción áurea (aproximadamente 1.618) son números diferentes [8]. El rectángulo áureo tiene la propiedad de "ser similar al cortar un cuadrado", mientras que el rectángulo de plata tiene la propiedad de "ser similar al doblar a la mitad". Son propiedades distintas. Los papeles de la serie A en Japón tienen las mismas dimensiones que la norma internacional ISO 216. Los papeles de la serie B tienen dimensiones diferentes entre la norma japonesa JIS y la ISO; por ejemplo, el B5 es de 176 x 250 mm en ISO, pero de 182 x 257 mm en JIS [10].
6. Cómo comprobar con papel y regla que dos rectángulos tienen la misma forma
Si tienes papel de copias, puedes hacerlo sin tijeras. Dobla la esquina superior del papel en forma de triángulo, de modo que el lado horizontal coincida perfectamente con el lado vertical. La parte que queda arriba de donde llega la punta del triángulo es un cuadrado, y la parte que queda abajo es la sección rectangular. Puedes comprobar con tus manos qué queda al quitar un cuadrado de un rectángulo.
Para verificar si mantiene la misma forma al doblar a la mitad, dobla un papel A4 por la mitad, colócalo en orientación vertical y superpónelo sobre la esquina inferior izquierda del papel original. Si unes la esquina inferior izquierda y la superior derecha del papel original con una regla, la esquina superior derecha del papel pequeño también quedará casi sobre esa línea. Esto se debe a que, si las formas son similares, las diagonales forman una línea recta. Si tienes un cuaderno B5 a la mano, puedes probar con el mismo método de superposición para ver si el B5 doblado a la mitad también mantiene casi la misma forma.