GPSの えいせいは、地球から 2万キロメートル ほど はなれた 空を とんで います［3］。

スマホは、えいせいから 電波が 出て から とどく までの 時間を はかります。その 時間に 電波の はやさを かけ算 すると、えいせいまでの きょりに なります［2］。

電波の はやさは、1びょうで 30万キロメートル ちかくです。地球を ぐるっと 7かいと はんぶん まわれる はやさです。

真上の えいせいから なら、1びょうの 15ぶんの 1 より ちょっと みじかい 時間で とどきます。ほんの 一しゅんです。ななめに いる えいせいは もっと とおいので、もう すこし かかります。

GPS衛星は、高度約20,200kmの中軌道を飛んでいて、1日に地球を2周します［3］。スマホが測っているのは、その衛星から電波が発信されて、受信機に着くまでの時間です。時間が分かれば、距離に変えられます［2］。

計算は掛け算だけです。電波の速さは秒速299,792,458m、およそ30万kmで、距離はこの速さに伝搬時間を掛けて出します［1］。1秒で地球を7周半する速さです。

逆に、真上の衛星までの20,200kmを電波が進む時間は、20,200÷299,792で約0.067秒、つまり67ミリ秒ほどです。ただし、これは真上にいる衛星の最短の値で、ななめの衛星はもっと遠く、時間も長くなります。

では、距離が1つ分かったとき、スマホの居場所はどこまで絞れるのでしょうか。

受信機が実際に測るのは、衛星から電波が発信されてから着くまでの伝搬時間である［2］。電波の速さは299,792,458m/秒で、距離は「速さ×時間」で出る［1］。電波は1ミリ秒（1000分の1秒）で約300km進む。速さに時間を掛けて、自分でも確かめられる。

高度約20,200kmの中軌道を飛ぶ衛星［3］が真上にいるとき、伝搬時間は20,200km÷299,792km/秒≒0.067秒。これは最短の値で、地平線に近い衛星はもっと遠い。したがって受信機は、衛星ごとにちがう長さの時間を、ミリ秒以下の精度で測り分けていることになる。

そのためには、信号がいつ送られたかも受信機に分かる必要がある。衛星は自分の位置と時刻の情報を電波にのせて送っている、と説明される。では、距離が1つ得られると、位置は幾何学的にどう制限されるのか。

まず、地図の 上で かんがえて みます。「A駅から 5キロメートル」と 分かれば、あなたは、A駅を 中心に した 円の 上の どこかに います。

そこへ 「B駅から 3キロメートル」も 分かれば、2つの 円が まじわる ところに しぼれます。3つ目の 駅からの きょりも 分かれば、地図の 上では、ほぼ 1か所に しぼれます。

本当の 空は 平らでは ありません。だから 円では なくて、えいせいを 中心に した 大きな ボールの 表面に なります［1］。3つの えいせいの ボールの 表面が かさなる ところが、スマホの いる 場所です。

ただし これは、スマホの 時計が ぴったり 正しい ときの 話です［1］。

地図の上の「円」で考える

最初は平面の地図で考えます。A駅から5km離れていると分かれば、居場所はA駅を中心にした半径5kmの円周上です。B駅からも3kmと分かれば、2つの円が交わる場所に絞られます。3つ目の駅からの距離も分かれば、ほぼ1か所に決まります。

空間では「球面」になる

実際の空間には高さもあるので、円の代わりに球の表面が出てきます。各衛星までの距離は、その衛星を中心にした球面を表し、スマホの位置は球面が交わるところです［1］。

受信機の時計が完全に正確なら、3機の衛星で位置が決まります［1］。位置は横・縦・高さの3つの値なので、3つの距離で足りる、という筋書きです。

ところが、受信機の時計にはわずかな誤差があります［1］。この「わずか」が、どれくらいの大きさで効いてくるのでしょうか。

各衛星までの距離は、その衛星を中心にした球面を与える。受信機の位置は、複数の球面が交わる点だ［1］。平面で言えば、円を3つ描いて1点を決める操作の、3次元版になる。位置の未知数はx・y・zの3つなので、独立した距離が3本あれば原理的に足りる。

JAXAの解説は、受信機に内蔵された時計が正確であれば3つの衛星で位置を特定できる、と述べる［1］。ただし実際の受信機の時計には、わずかな誤差がある［1］。ここで「正確なら」という条件が付いていることが、4機目の話の入口になる。

問題は、その「わずかな誤差」が距離にどう換算されるかだ。

電波は 1びょうで 地球を 7かいと はんぶん まわる ほど はやい ので、時計が ほんの すこし ずれる だけで、きょりが 大きく ずれて しまいます。

時計が 100万ぶんの 1びょう ずれると、きょりは 300メートル ほど ずれます［1］。学校の 校ていの 長さ より ずっと 大きな ずれです。

10おく ぶんの 1びょうでも、ずれは 30センチメートルです。30センチメートルの ものさし 1本ぶんを、電波は 10おく ぶんの 1びょうで すすみます。

もし スマホの 時計が 1びょう ずれたら、30万キロメートルも ずれます。

えいせいには 原子時計という、とても 正しい 時計が のって います［3］。でも、スマホの 時計は、そこまで 高い ものでは ありません［5］。

光の速さを掛けると

電波は光と同じ速さで進むので、時間のずれは、そのまま距離のずれに変わります。299,792,458m/秒に、100万分の1秒（1マイクロ秒）を掛けると、約300mです［1］。1ミリ秒（1000分の1秒）なら約300km、10億分の1秒（1ナノ秒）なら約30cmです。

30cmのものさし1本ぶんを、電波が進む時間が1ナノ秒です。人間の感覚では存在しないに等しい時間でも、GPSでは位置の誤差になります。

衛星の時計と、スマホの時計

衛星は、高精度な原子時計を積んでいます［3］。いっぽう受信機の時計は、比較的安価なものでかまわないと説明されています［5］。スマホに原子時計を入れるのは現実的ではないので、「時計はずれているもの」として計算に組み込む、というのがGPSの考え方です。

では、そのずれは、どう計算に組み込まれるのでしょうか。

電波は光速で進むので、時間誤差Δtは、距離誤差c×Δtに直結する。c≒299,792,458m/秒より、Δt＝1μsで約300m、1msで約300km、1nsで約30cmになる（計算値）［1］。10億分の1秒は、30cmのものさしを電波が通りすぎる時間にあたる。受信機の時計が1秒狂えば、距離は約30万kmに相当する。

GPS衛星は原子時計を搭載している［3］。いっぽう受信機は、安価な時計でよい設計で、衛星の時刻に合わせ直すと解説される［5］。ここで「よい」とされるのは、時計の不正確さを前提に、そのずれを計算に含めて求めるしくみがあるからだ。

したがって、受信機の時計のずれbは、無視できる小さな誤差ではなく、位置と同じ重みをもつ未知数として扱わなければならない。具体的には、各衛星までの距離にc×bが一律に上乗せされる形になる。

スマホは、じぶんの いる 場所と、じぶんの 時計の ずれを、どちらも 知りません。しらべたい ものが 4つ あります。

場所の 3つ（よこ・たて・高さ）と、時計の ずれが 1つです［5］。えいせい 1つに つき、きょりの 式が 1本 できます。だから、4つの 式には、4つの えいせいが いります。

時計が ずれて いると、どの えいせいまでの きょりも、おなじ 分だけ ながく なったり みじかく なったり します。4つの ボールの 表面が ぴったり 1点で かさなる ように、時計の ずれを きめるのです。

すると おもしろい ことが おきます。ずれが 分かるので、スマホは 場所だけでなく、えいせいの 時こくに ちかい 時こくも 計算できます［5］。

未知数は4つある

スマホが知りたいのは、横・縦・高さの3つの位置と、自分の時計のずれ1つ、合計4つです。衛星1機につき距離の式が1本できるので、4つの未知数には4本の式が要ります。4機の距離の式を使って、位置と時計のずれをまとめて求めます［5］。時計のずれも未知数なので、式がもう1本必要になるのです。

時計のずれは、全部の距離に同じだけ乗る

時計が進んでいても遅れていても、そのずれはどの衛星の測定にも同じ量が混ざります。そのため、測った距離は「本当の距離」ではなく、「本当の距離＋時計のずれ分」です。時計のずれを含んだ距離は、擬似距離と呼ばれます［5］。

4機の擬似距離が、ちょうど1点で交わるようにずれの量を決める。これが、4機目が加わる意味です。結果として、位置だけでなく、衛星の時刻に近い時刻も計算できます［5］。ただし、時刻の精度は受信機や使う条件によってちがいます。

受信機の位置を(x, y, z)、受信機の時計のずれをbとすると、i番目の衛星（位置(xᵢ, yᵢ, zᵢ)）への擬似距離ρᵢは、ρᵢ＝√{(x−xᵢ)²＋(y−yᵢ)²＋(z−zᵢ)²}＋c·b と書ける［5］。ここで√の項が本当の距離、c·bが時計のずれによる上乗せで、全衛星に共通する。

未知数はx・y・z・bの4つなので、衛星4機で4本の式がそろって、はじめて解ける。Penn Stateの教材は、3つの擬似距離でux・uy・uzが決まり、4つ目の擬似距離が受信機の時計のオフセットの解を与える、と整理している［5］。国土地理院も、位置が分かっている4機以上の衛星までの距離から観測点を求める、と説明する［2］。

結果として、位置と同時に、受信機の時計のずれも求まる。衛星の時刻に合わせ直すことで、受信機の安価な時計でも、衛星の時刻に近い時刻が計算できる［5］。時刻の精度は受信機や利用条件によるので、原子時計並みとまでは言い切れない。

GPSの えいせいは、1日に 2しゅう しながら、地球の まわりを とんで います［3］。

アメリカは、ふだんから 24き いじょうの えいせいを うごかす ことを やくそくして います［3］。10年いじょう、31き が はたらいて きた と いう 発表も あります［3］。

これだけ いれば、地球の ほとんど どこからでも、4つ いじょうの えいせいが 見えます［3］。

日本では、「みちびき」という えいせいも、GPSと いっしょに つかえます。見える えいせいの 数を ふやすのが やくめです［6］。

24機を約束している

GPS.govによれば、アメリカは少なくとも24機の運用衛星を、95%の時間にわたって維持することを約束しています。宇宙軍は、10年以上にわたって31機を運用してきたとしています［3］。軌道への並べ方の工夫によって、地球上のほぼどこからでも、少なくとも4機が見える設計になっています［3］。

4機目が要るという計算の条件に合わせて、空の側が整えられている、と読むこともできます。

日本の「みちびき」

みちびき（準天頂衛星）は、2018年11月から4機体制でサービスを始めていて、GPSと一体で使えるようにして、見える衛星の数を確保します。7機体制になると、日本上空に常に4機以上が滞空するので、みちびき単独での持続的な測位ができるようになる、とされます［6］。

こうして衛星の数がそろっても、スマホの画面の青い点は、どれくらい本当の位置に近いのでしょうか。

GPS.govは、GPS衛星が高度約20,200kmの中軌道を飛び、1日に2周すること、24スロットの配置により地球上のほぼどこからでも少なくとも4機が見えることを示している［3］。米国は少なくとも24機の運用衛星を95%の時間維持することを約束し、宇宙軍は10年以上にわたり31機を運用してきたとする［3］。

前章までの理屈とあわせると、位置と時計のずれの4つを求めるのに要る「4機」という数と、地球上のほぼどこからでも4機が見える配置は、噛み合っている。

日本の準天頂衛星システム「みちびき」は、2018年11月から4機体制でサービスを提供し、GPSと一体で使えるため、見える衛星数の確保に寄与する。4機以上が常に日本上空に滞空する7機体制になれば、みちびき単独で持続測位が可能になる［6］。

空が ひらけた 場所では、スマホの GPSは、ふつう はんけい 5メートル いない くらいの 正しさだと されます［4］。教室の 横はばより、すこし 小さい くらいです。

ただし、たてものや 橋、木の ちかくでは、もっと 悪く なります［4］。この 5メートルは「ふつうは こう」と いう 目やすで、いつでも まもられる 数では ありません。

もっと 正しく はかりたい 人も います。2つの きかいで 同じ えいせいを 見て、ずれを ひき算 すると、2つの きかいの ばしょの ならびかたを、10キロメートル はなれても 1センチメートルの ちがいまで 分かる やり方が あります［2］。ひとつの 場所の 正しさとは、べつの 話です。

スマホは、どのくらいの誤差か

GPS.govは、GPS対応のスマホは、空が開けた場所なら典型的に半径4.9m（16フィート）以内の精度だとしています。ビルや橋、樹木の近くでは精度が落ちます［4］。4.9mは「典型値」であって、保証値ではありません。

国土地理院は、1台の受信機で求める単独測位の誤差を約10mとしています［2］。数字がちがうのは、条件や受信機がちがうためで、どちらが正しいという話ではありません。

誤差を減らす工夫

2台以上の受信機で、同じ衛星の電波を同時に受け、共通の誤差を差し引く方法を、相対測位といいます。搬送波の位相を使うと、2台の相対的な位置関係を、100万分の1、つまり10kmで1cmの精度で求められます［2］。これは2台の間の位置関係の精度で、スマホ1台の位置そのものの精度とは別の数字です。

さらに、2周波の受信機や補強システムを使う利用者は、リアルタイムで数cm、長期間の観測ではmm単位の測位ができるといいます［4］。

GPS.govは、GPS対応スマホの精度を、空が開けた条件で典型的に半径4.9m（16フィート）以内とし、建物・橋・樹木の近くでは悪化するとしている［4］。これは典型値であり、保証値ではない。国土地理院が示す単独測位の誤差は約10mで［2］、2つの数字の差は、受信機・環境・測定条件のちがいを反映したものと考えられる。

相対測位は、2台以上の受信機で共通する誤差を差し引く方法である。搬送波位相を利用すると、2台の間の相対位置を100万分の1（10kmで1cm）の精度で求められる［2］。これは相対測位の精度で、単独測位の位置そのものの精度とは別の数字だ。高精度な利用者が2周波受信機や補強システムを使うと、リアルタイムで数cm、長期観測でmm単位に達する［4］。

誤差を減らすには、1台では分からない共通の誤差を、別の受信機との差で消す。擬似距離の中にある「時計のずれ」を計算に含めて求めるという発想と、方向は似ているが、同じ手法ではない。

おうちの 人と いっしょに、地図の アプリを ひらいて みましょう。青い 点の まわりに、うすい 円が 出る ことが あります。アプリに よって 見え方は ちがいます。

まど ぎわで 見た ときと、へやの おくで 見た ときで、円の 大きさが かわるか 見くらべます。かわって いたら、場所で 数字が うごく ことが 分かります。ただし、円が かわる りゆうは、電波だけとは かぎりません。

歩きながら スマホを 見るのは、あぶないので やめましょう。たちどまって、安全な 場所で 見ます。

30センチメートルの ものさしを 1本 もって、「10おく ぶんの 1びょうで、電波は これだけ すすむ」と 手に とって みるのも、おもしろいです。

家族と一緒に、地図アプリを開いてみてください。青い点のまわりに薄い円が出ることがあります。アプリによって見え方はちがいます。

窓ぎわと、部屋の奥や建物の中心近くで、円の大きさを見比べます。変わっていたら、衛星の電波の受けやすさがちがうのかもしれません。ただし、円が変わる理由は電波だけとは限りません。「場所で数字が動く」ことを、自分の目で確かめられます。確認するときは、歩きながらではなく、立ち止まって安全な場所で行ってください。

もう一つ、30cmのものさしを手に取って、「電波が10億分の1秒で進む距離」を確かめます。時計のずれが距離のずれになる、という感覚がつかめます。

原典を読むなら、JAXAの「今いる場所・時間がわかる測位とは？」［1］が日本語で読めます。発展資料として、英語になりますが、GPS.govの精度のページ［4］で数字の出どころを見ることができます。

手元で試すなら、地図アプリの青い点のまわりに出る円を、窓ぎわと室内の奥で見比べる方法がある。ただし、円が何を表すかはアプリの仕様によるので、「場所によって見え方が変わる」ことの確認にとどまる。歩きながらの操作は避ける。

資料を読むなら、時計のずれと擬似距離の整理はPenn Stateの教材［5］、日本語での概要はJAXA［1］と国土地理院［2］、衛星数と精度の数字はGPS.gov［3］［4］、日本の衛星の補いは内閣府のみちびきのページ［6］が読める。

紙の上でできる確認もある。4章の擬似距離の式を、衛星3機ぶんだけ書き出してみる。未知数はx・y・z・bの4つなのに、式は3本で、1本足りない。ここまで手を動かすと、「4機目が時計の分」という言い方の意味がつかめる。式の導出をさらに追いたいときは、英語の発展資料としてPenn Stateの教材が丁寧だ。