さかさに たてた ぼうは、ほんの すこし かたむいただけで、そのまま どんどん かたむいて いきます。わずかな ずれが、じかんと ともに おおきく なって いくのです［6］。

ところが、ぼうを ささえて いる ところを、上下に はやく こまかく ゆらすと、ぼうが 上を むいた まま たもたれる ことが あります［1］。これが「カピッツァの ふりこ」です。

こたえの ようてんを いいます。はやい ゆれが、ぼうを もとの むきへ もどす ちからを うみだすと、せつめいされて います［1］。では、ゆらして いるだけなのに、どうして もどす ちからに なるのでしょう。

棒を逆さに立てて倒れないようにするのは、掌や指の上でほうきを立てる遊びのとおり、とても難しいことです。物理の言い方では、逆さの位置は不安定で、わずかなずれが時間とともに大きくなります［6］。

ところが、支点（棒を支えている点）を高い振動数で上下に振ると、振り子が上向きの位置で安定することがあります［1］。支点をゆっくり動かしたのでは、こうはなりません。速く小さく振ることが大事です。

題名の問いへの答えの要点は、この高速の振動が「有効な復元力」を生む、ということです。この力がなければ、系は安定しなかったと説明されています［1］。では、ただ振っているだけの動きが、どうして戻す力になるのでしょうか。

逆さの位置にある振り子は、駆動しなければ不安定である。わずかな角度のずれは時間とともに成長する［6］。重力は、ずれを広げる向きに働くからだ。

ところが、支点を高い振動数で上下に振動させると、この同じ振り子が上向きの位置で安定化されうる［1］。重力は変わらず、変えたのは支点の動きだけである。

題名の問いへの答えの要点は、高周波の成分が「有効な復元力」を生み、これがなければ系は安定しない、という点にある［1］。次に、この有効な復元力がどこから来るのかを、支点の加速に注目して見る。

ぼうが すこし かたむいたと します。この とき、ささえて いる ところを 下へ ぐいっと ひくと、ぼうの まんなかあたりを まわす ちからが うまれます。この まわる ちからは、ぼうを たてに もどす むきに はたらく、と せつめいされて います［3］。

たとえば、ぶらんこに のって いる ときを おもいだして ください。ゆかが とつぜん すっと さがると、からだが かるく なった ような きが しませんか。ささえが うごくと、中に ある ものの かんじかたが かわります。ぼうでも、にた ことが おきて います。ただし、これは おもいうかべる ための たとえで、ほんとうの しくみは ちからの はなしです。

はやく ゆらすと、この 「もどす まわりかた」が なんども くりかえされます。すると、小さな ゆれが くりかえされて、ぼうは 上を むいた ばしょの まわりで ゆっくり ゆれるのです。

ハーバード大学の科学実験デモの説明では、支点が下へ引かれると、重心のまわりのトルク（物を回そうとする力）が、振り子を垂直の向きへ戻す回転を生むとされています［3］。

身近な感覚でいえば、エレベーターが下へ動き出す瞬間に体が軽く感じられるのと似ています。支点が加速すると、振り子から見て重力が変わったように感じられるからです。ただしこれは思い浮かべやすくするための例えで、きちんとした説明は力と回転の式で行います。

実際には、支点は上へも動きます。それでも全体として戻す側が勝つように、振動の速さと大きさがうまく組み合わさるとき、安定が生まれます［1］。

研究者はこの動きを、二つに分けて考えます。1周期の中の速く小さな揺れ（マイクロモーションと呼ばれます）と、長い時間をかけた遅い動きです［6］。速い揺れをならして平均すると、遅い動きにだけ働く「有効な復元力」の形が見えてきます。

では、この安定は、どんな振り方でも手に入るのでしょうか。

支点が下向きに加速されると、重心まわりにトルクが生じ、振り子は垂直方向へ向かう反対向きの回転をする［3］。支点が加速するということは、振り子の側から見れば重力が見かけ上変わることである。この説明は定性的なもので、支点が上向きに加速される半周期では、逆の向きの効果も出る点に注意が要る。

そこで、運動を二つに分ける手法が使われる。1周期内の速く小さな揺れ（マイクロモーション）と、数周期以上の時間尺度で見る遅い動きだ［6］。速い成分を時間平均すると、遅い動きにだけ作用する有効ポテンシャルが現れ、その形に上向きの安定な平衡点が生まれうる［1］［7］。

では、この安定化はどんな条件のもとで成り立つのか。次に、条件式と、それが何を意味するかを見る。

この ふしぎな げんしょうの なまえは、ロシアの ぶつりがくしゃ、ピョートル・カピッツァから きて います。1951ねんに、ささえを はやく ゆらすと 上むきで おちつく ことを しめしました［2］。

ところが、もっと むかしの 1908ねんに、ステファンソンという ひとが、ささえを 上下に 小さく ゆらせば、さかさの ふりこを おちつかせられる ことを しめして いたと、べつの しりょうは つたえて います［4］。

なまえは カピッツァですが、はじめて しめしたのは ステファンソンだと いう せつめいも あるのです。では、どれくらい はやく ゆらせば いいのでしょう。

この現象にはロシアの物理学者ピョートル・カピッツァ（1894〜1984年）の名前が付いています。ブラウン大学の数学教材は、カピッツァが1951年に、支点を十分に速い振動数で上下に振れば逆さの位置が安定することを指摘した、と紹介しています［2］。

ところが、ウッズホール海洋研究所の資料によれば、この問題の歴史は1908年にさかのぼります。ステファンソンが、支点に小さな上下の振動を与えれば逆さの振り子を安定化できることを、すでに示していたというのです［4］。

名前の付いた人が最初の発見者とは限らない、という例のひとつです。この記事でカピッツァの名で呼んでいるのは、現象の通称にしたがっているからです。

では、この安定化には、どれくらい速く振ることが必要なのでしょうか。

この現象にカピッツァ（1894〜1984年）の名が冠されているのは、1951年に彼が、支点を十分速い振動数で上下に振れば上向きの位置が安定することを指摘したからだ［2］。ところが、問題の起源はさらに古い。1908年にステファンソンが、支点に小さな垂直振動を与えて逆さの振り子を安定化できることを示していた［4］。

この記事は通称にしたがってカピッツァの名を使うが、起源が1908年にあるという点は、出典［4］の記述による。

では、安定化に必要な条件はどう書けるのか。次の章で式の意味を見る。

かんたんに いうと、小さな はばで、とても はやく ゆらすと、ぼうが たおれにくく なる ことが あります［6］。

ただ、これは 「はばは 小さく、ゆれは とても はやく」 という とくべつな ばあいの はなしです［6］。ゆっくり おおきく ゆらしても、おなじように うまく いくとは かぎりません。

じっさいに ためす ときは、かならず おとなの ひとと いっしょに、あぶなくない ばしょで してください。

上下に振ったとき、逆さの位置が安定になる条件は、支点の振幅をA、振動数をω、振り子の長さをℓとして、(Aω/ℓ)²＞2ω₀²（ω₀²＝g/ℓ、gは重力加速度）と書けると、ある論文は示しています［6］。

式の意味を言葉にすると、左側は駆動の強さ、右側は重力による不安定さです。両辺にℓを掛けて整理すると A²ω² ＞ 2gℓ となるので、振幅と振動数が大きいほど、そして棒が短いほど、条件を満たしやすい、ということです。

別の資料でも同じ形の条件が出てきます。振動を表す無次元の量が、あるしきい値（√2）を超えたときに、有効ポテンシャルが上向きの位置に安定な平衡点をもつ、というものです［7］。

ただし、この式が使えるのは、振幅が小さく振動数が大きい、高周波・小振幅の領域での近似です［6］。振幅を大きくすればよいという話ではありません。

では、この近似が成り立たなくなるのは、どんな場合でしょうか。

上下に振動させたとき、逆さの位置が安定になる条件は、振幅A、振動数ω、振り子の長さℓを用いて、(Aω/ℓ)²＞2ω₀²（ω₀²＝g/ℓ）と書ける［6］。左辺は駆動の強さ、右辺は重力による不安定さを表すと読め、駆動が重力に勝ったときに安定が生じる、ということだ。

別の文献では、駆動の無次元パラメータρが√2を超えるとき、有効ポテンシャルが上向き位置に安定な平衡点をもつ、と表されている［7］。平均化された力学の解析でも、安定条件はパラメータの二乗が1を超えることと書かれ［4］、文献ごとに無次元化の仕方が違うので、係数の見かけは異なるが、同じ種類の条件になっている。

これらの導出は、支点の振動数が振り子本来の振動数よりずっと大きく、振幅が小さいという前提に立つ［6］［7］。式を見て「Aを大きくすれば安定する」と読むのは誤りで、前提の外では式は保証にならない。

この式の使い方を一つ決めておく。ある実験で「振動数を2倍にしたら安定した」と言うとき、式の左辺は振動数の2乗で効くので、駆動の強さは4倍になる、と読める。ただしこれは、前提の範囲の中で式を信じた場合の計算である。この近似の外側では、式は何も保証しない。

では、その前提の外側や、前提が成り立つ範囲の中でも、どんな限界があるのか。

この あんていは、ぼうが まっすぐ 上を むいた ところの、ごく ちかくで だけ いえます［6］。おおきく かたむけて しまうと、もどせない ことも あります。

また、水の中の とても ちいさな ふりこの けんきゅうでは、まさつ（うごきを とめようとする ちから）が つよくて、さかさの あんていな じょうたいを みられなかった と ほうこくされて います［5］。そのかわり、よこへ ずれた ばしょで おちつく あたらしい かたちが みつかって います［5］。

さかさの いちの ちかくで だけ、あんていすると いえます。

解析では、小さな角度のずれだけを考えて運動の式を線形化します。そのため、安定という結論が言えるのは、逆さ位置のごく近くに限られます［6］。大きく傾いた状態から、必ず立ち上がるとは限りません。

また、速い揺れをならして遅い動きだけを取り出す最低次の近似では、数周期のあと、近似で求めた軌道が実際の運動からずれ始めることも指摘されています［7］。近似は便利ですが、永遠には当たりません。

摩擦も条件になります。非常に小さなスケールの振り子の研究では、強い摩擦（減衰）のために逆さの安定状態が実現しにくい一方、横にずれた位置で安定する新しいかたちが現れると報告されています［5］。

こうして見ると、カピッツァの振り子は、「速く振れば何でも立つ」という魔法ではなく、前提のそろったところで成り立つ、はっきりした現象だと分かります。

解析は、小さな角度のずれについて運動方程式を線形化して行う。したがって安定という結論は、逆さ位置のごく近くでだけ成り立つ局所的なものだ［6］。実験で大きく傾いた棒が戻らないのは、この結論と矛盾しない。

平均化の近似にも寿命がある。最低次の平均化では、遅い動きの軌道が数周期のあと、実際の運動からずれ始める［7］。近似で描いた軌跡は、長い時間では当てにしすぎないほうがよい。

摩擦の影響もある。マイクロスケールのカピッツァ振り子の研究によれば、強い散逸があると逆さの安定状態が実現しにくくなる一方、平衡位置が横へずれた新しい状態が現れる［5］。なぜ逆さの状態が損なわれるのか、その詳しい仕組みは、この研究の枠組みでは未解決の問いとして残る。

こうして、「速く振れば立つ」という直感に、条件と範囲という輪郭が付いた。では、自分の手でこの不安定さを確かめるには、何から始めればよいか。

まず、うまく たもてない ところから はじめましょう。ものさしを、手の ひらに 立てて みます。ささえずに、手の ひらに 立てて、たおれるまでの じかんを かぞえて みます。

すぐに たおれます。ささえが ないと、さかさの ぼうは たおれやすいと わかります。

ものを ふりまわしたり、ひとに むけたりしないで ください。ゆかの 上で、ちかくに だれも いない ところで やりましょう。

家にある30センチの定規を、手のひらや指の上に逆さに立てて、何秒で倒れるかを数えてみましょう。駆動しないときの逆さの棒が、どれほど倒れやすいかが分かります。

手で振動を与えて安定させるのは、実際にはとても難しいはずです。一般に、条件を満たす速さと大きさで安定して振るには、機械が使われます。人の手でそれを再現できなくても、不安定さの感覚がつかめれば十分です。

周りに人や壊れやすいものがない場所で、棒を振り回さないようにして行ってください。

家庭でできるのは、駆動しない場合の不安定さを体感することだ。定規を指の上に逆さに立て、倒れるまでの時間を測れば、駆動なしでは逆さの棒が倒れやすいことを確かめられる。

手の動きで実際の安定化を再現するのは、条件の速さと小ささを考えると容易でない。再現できなくても、不安定さの体感は、安定化の驚きを理解する土台になる。

理論面をさらに追うなら、出典［6］は安定条件と導出の前提を、出典［7］は有効ポテンシャルと近似の限界を、出典［5］は摩擦が大きい場合の振る舞いを扱っている。本文の条件式（4章）と限界（5章）を見比べて、どの条件が近似の前提なのかを、自分の言葉で整理してみよう。