ぐるっと 1まわりは 360どです。その はんぶんの 180どより おおきい 角も、せかいには あります。

ぶんどきは、ふつう はんえんの いたに、0どから 180どまでの めもりが ついて います［1］。それでも 180どを こえる 角は はかれます。

やりかたは かんたんです。はかった 180どの ところから、のこりを たします。または、1まわりの 360どから、はかった 角を ひきます。

では、なぜ はんえんで たりる のでしょう。それは、ぶんどきの まっすぐな ふちに ひみつが あります。

半円の目盛りでも、計算すれば超えられる

分度器は、ふつう半円の板のふちに角度の目盛りをつけた器具です［1］。半円分度器の目盛りは0〜180度ですが、180度を超える角でも、簡単な計算で測れます［2］。

たとえば、紙に200度の角を描いたとします。分度器では、まず180度の分をあてて、残りの20度を測ります。180度に20度を足して、200度です。外側から測るなら、1回転の360度から、反対側の160度を引いても同じ答えになります。

ただし、この計算は手間が増えるので、使う人にとってはやや面倒です。ではなぜ、最初から円にしないのでしょうか。手がかりは、分度器のふちの直線にあります。

分度器は、半円板の周囲に目盛りをつけた器具が一般的だが、円形の板に360度の目盛りをつけたものもある［1］。広く知られているのは半円の形で、目盛りは0〜180度だ［2］。

半円分度器でも、180度を超える角は簡単な計算で測れる［2］。たとえば200度の角なら、180度の分に残りの20度を足す。または、反対側の角を測って360度から引く（360−160＝200）。どちらも、180度ちょうどが「基準の長さ」になっている点が肝心だ。

では、なぜ円ではなく半円が標準なのか。以下では、分度器のふちの直線が表す180度という角の意味を軸に、この問いを考える。

まえを むいて 立って、くるっと うしろを むいて みましょう。この 「はんぶん まわる」うごきが、180どです。

ぶんどきの まっすぐな ふちは、まえと うしろを むすぶ 線に なって います。つまり、まっすぐな 線は、180どの 角と 同じ なのです。

ふつうの 角は、この 180どより せまい ものが ほとんどです。さんかくじょうぎの 角を おもいうかべて みて ください。

だから、まっすぐな ふちの ひとつぶんが あれば、たいていの 角は はんえんの 中に おさまります。ただし ほんとうは、これは かんがえ方の ひとつで、「こうだから はんえんに した」と かいた しりょうは みつけて いません。

直角2つ分が180度

直角は90度です。直角2つ分で180度になり、一直線にぴったり重なります。つまり、まっすぐな線は「180度の角」と同じです。一回転して元の向きに戻る角が360度なので、その半分の半回転が180度、という見方もできます。

分度器のふちの直線は、この180度の角そのものです。0度の線と180度の線が、一直線にのびています。分度器をあてると、その間にどんな角度が入るかを、ひとめで読み取れます。

ふつうの角は、半円に収まる

三角定規の角のように180度より小さい角は、半円分度器の目盛りで一度に読めます。180度を超える角が出てきたときだけ、計算を足せばよいのです。

ここまでが、半円で足りるという考え方です。ただし、「なぜ半円が選ばれたか」を直接説明した資料は、今回の調べでは見当たりませんでした。この記事の説明は、算数の道すじにもとづく読み方のひとつです。

直角2つ分の大きさが180度で、一直線に当たる。1回転（直角4つ分）が360度だから、180度は半回転でもある。分度器のふちの直線は、この180度の角そのものだ。分度器の0度の線と180度の線は一直線上にあり、その2本の向きの差が180度になる。半円の板には、0度から180度までの角を読むための目盛りがある。

日常で目にする角（三角定規の角など）の多くは、180度より小さい。半円分度器は、そうした角を一度の当てはめで読める。180度を超える角だけは、先に見たとおり、180度に残りを足す、または360度から反対側の角を引く、という操作で測る。

ただし、この説明は「半円で足りる理由」を算数から説明したもので、設計者が半円を選んだ意図を示す資料があるわけではない。以下では、実際の器具の歴史を見て、この見方を確かめる。

いまから 440ねんほど まえの 1589ねん、イギリスの トマス・ブランデヴィルという 人が、本の 中で、角を かいたり はかったり する どうぐを せつめいしました［3］。その どうぐは はんえんの かたちだと、えいごばんの ウィキペディアには かかれて います［4］。

でも、この 人が ぶんどきを つくった とは いいきれません。おなじ ころ、ヨーロッパの ほかの 人も、にた どうぐの はなしを かいて いたからです［3］。

その あと、1600ねんの はじめまでに、ぶんどきは、海の 航海士こうかいしや、りくで ちずを つくる 人の ふつうの どうぐに なりました［3］。

ぶんどきは、ふねで とおくへ いくときにも、やくに たって いたのです。

ブランデヴィルの本

1589年、イギリスのトマス・ブランデヴィルは、『Briefe Description of Universal Mappes & Cardes』という本の中で、角を描いたり測ったりする道具を説明しました［3］。英語版のウィキペディアは、これを「半円形の角度測定器具」と紹介しています［4］。約440年前のことです。

ただし、アメリカのスミソニアン博物館は、ブランデヴィルが分度器を発明したかどうかははっきりしない、と書いています。同じころ、ヨーロッパのほかの数学の実務家も、似た道具について書いていたからです［3］。

航海と測量の道具に

スミソニアンの説明では、分度器は17世紀の初めまでに、海の航海士と陸の測量士の標準的な道具になりました。ブランデヴィル自身は、高緯度向けの航海用の海図づくりに使ったとされています［3］。角を測る道具は、遠くへ向かう船の地図づくりにも使われていたのです。

さらに古い、半円の目盛り

もっと昔にも、半円の目盛りを持つ道具があるようです。英語版のウィキペディアは、1280年代のラテン語の文献に出てくる天体の観測器トルケトゥムに、半円の目盛りの部品があると説明しています［5］。ただし、トルケトゥムを分度器の元祖と見る資料は、今回は見ていません。ここで言えるのは、半円に角度の目盛りをつける発想が、かなり古いということまでです。

角度測定器具の古い記録を探すと、まず1589年のトマス・ブランデヴィルに行きあたる。『Briefe Description of Universal Mappes & Cardes』で、角を描き、測る器具を説明した［3］。ウィキペディアの記述では、これは半円形の角度測定器具で、出典はAckerberg-Hastingsの2005年の論文とされる［4］。ただし、この論文は今回直接読んでおらず、二次資料にもとづく記述だ。

注意したいのは、ブランデヴィルを発明者と言い切れない点だ。スミソニアン博物館は、同じころほかのヨーロッパの数学実務家も似た器具を書いていたため、発明者かは不明とする［3］。したがって、「1589年ごろにはすでに角を測る器具が書物に出てくる」くらいが、安全な言い方になる。

では、その後どう広まったのか。スミソニアンは、分度器が17世紀初めまでに、海上の航海士と陸上の測量士の標準的な実務に入ったと述べる。ブランデヴィルは、これを高緯度向けの航海用海図づくりに使った［3］。

さらにさかのぼると、13世紀（1280年代）のラテン語文献に出てくる天体観測器トルケトゥムに、半円の目盛りの部品があると、英語版ウィキペディアは説明する［5］。ただし、「分度器の元祖」とは書けない。言えるのは、半円に角度の目盛りを刻む発想が、数百年前の天文の器具にも見える、というところまでだ。

ぶんどきには、まるい かたちの ものも あります。ぐるっと 1まわり、360どまで めもりが ついて います［1］。それでも、いちばん よく しられて いるのは、はんえんの ぶんどきです［2］。

にほんでは、1886ねんの 本に ぶんどきが のって いるので、おそくとも そのころには つかわれて いました［6］。

えどじだいの おわりごろ（19せいき）の、まるい ぶんどきや、はんえんの ぶんどきも、えどとうきょうはくぶつかんに のこって います［6］。

むかしから、はんえんと ぜんえんの りょうほうが あった ようです。

形は半円だけではない

円形の板に360度の目盛りをつけた全円分度器も、広く使われています［1］。それでも、一般に広く知られているのは半円の形です［2］。180度を超える角を測るときは、全円のほうが計算がいりません。反対に、半円は板が小さくてすみ、授業の道具としては扱いやすいでしょう。ただし、この「使いやすさ」の比較は、この記事の見方で、資料に書かれた理由ではありません。

日本の古い分度器

日本では、1886年の『工学字彙』に分度器が載っています。したがって、遅くともその年までには使われていたと分かります［6］。ただし、「1886年に日本に伝わった」という意味ではありません。

江戸東京博物館の資料には、江戸末期（19世紀）の「分度器 全円儀」があります。全円儀・円分度器・半円儀などから構成されています［6］。半円と全円が、同じころからならんで使われていたことが分かります。

分度器には、半円板に0〜180度の目盛りをつけたものと、円形の板に360度の目盛りをつけたものの2種類がある［1］。一般に広く知られているのは半円の形だ［2］。全円なら180度を超える角に計算が要らない一方、半円は板が小さくてすむ。ただし、この長所・短所の対比は筆者の見方で、資料が示す理由ではない。

日本での使用は、『工学字彙』（1886年）に分度器が載っていることから、遅くともその年までには使われていたと言える［6］。「1886年に伝わった」ではなく、「遅くともそのころには、すでに使われていた」という読み方だ。

江戸東京博物館（赤木清士コレクション）の資料には、江戸末期（19世紀）の「分度器 全円儀」があり、全円儀・円分度器・半円儀などから構成される［6］。半円と全円が同じころに並んで存在していたことが分かる。つまり、半円が全円に取って代わった、あるいは逆になった、という単純な話ではなさそうだ。

ぶんどきの めもりを たどると、ふしぎな ことに 気づきます。1まわりを、なぜ 360に わけるのでしょう。

アメリカの 大学の せつめいでは、むかしの バビロニアの 星を しらべる 人たちが、およそ きげんぜん500〜300ねんごろに、円を 360どに わけた と いわれます［7］。

りゆうは、たいようが 1日に すこしずつ うごく ように 見えること、60ずつ かぞえる やり方との あいしょう、360が いろいろな 数で わりきれること、などが あげられて います［7］。

でも、どれが ほんとうの りゆうかは、はっきり していません。いくつかが かさなったのかも しれません［8］。

バビロニアの天文学者

UNLV（アメリカの大学）の解説では、円を360度に分けたのは古代バビロニアの天文学者で、紀元前500〜300年ごろとされています［7］。理由として挙げられるのは、主に3つです。太陽が1日に約1度ずつ動くように見えること、60進法との相性がよいこと、そして360の約数が24個と多く、分けやすいことです［7］。

決め手は、はっきりしない

ほかにも、1年がおよそ360日だったから、正三角形の角を基本にして60進法で分けたから、という説があります［8］。どの理由がどれだけ効いたのかは分かっておらず、研究者も「確かではない」と書いています［7］。複数の要因が重なった可能性もあります［8］。

180度は、この360の半分です。360は、180や90、60に整数で分けられます。分度器の半円の目盛りが整数で刻めるのは、そのおかげとも言えます。ただし、これも資料に書かれた説明ではなく、計算から分かることです。

UNLVのJefferyの解説では、円を360度に分けたのは古代バビロニアの天文学者（紀元前500〜300年ごろ）とされる［7］。Jefferyは理由として、太陽が1日に約1度動くという見かけの動き、60進法との相性、360の約数が24個と多いこと、の3つを挙げる。ただし、3つの重みづけは分かっておらず、「確かではない」と書く［7］。

英語版ウィキペディアの「度（角度）」も、諸説を並べる。1年がおよそ360日だったから、正三角形の角を基本にして60進法で分けたから、約数の多さのため、などだ。複数の要因が重なった可能性もある［8］。定説はなく、「バビロニア起源」「一因」までが書ける範囲だ。

180度は、360の半分だ。360の約数が多いため、180・90・60・45・30といった区切りが、小数なしで取れる（360÷180＝2、360÷90＝4、360÷60＝6、360÷45＝8、360÷30＝12）。この性質が、半円の目盛りを整数で刻みやすくしている、とは言えるが、それは計算から分かることで、半円の形の理由として書かれた説明ではない。

おうちや がっこうの ぶんどきを、よく 見て みましょう。まっすぐな ふちが、どこに ありますか。

つぎに、かみに、はんたいがわが 160どに なる 角を かきます。はんえんの ぶんどきで 160どを はかります。

360どから 160どを ひくと、いくつに なりますか。それが、180どより おおきい ほうの 角です。

もし ぶんどきに ぜんえんの ものが あれば、はんえんと ならべて みると おもしろい です。ちがいが 見つかったら、すてきな はっけんです。

家や学校の分度器を、じっくり見てみましょう。まっすぐなふちはどこにあるか、目盛りは何度から何度まで刻まれているか、両側から読める目盛りは何色で分けられているか。

次に、紙に200度くらいの大きな角を描いて、半円の分度器で測ります。180度の分に残りを足した答えと、360度から反対側の角を引いた答えが、同じになるか確かめられます。

全円の分度器が手元にあれば、半円と並べて、どちらが測りやすいか試してみるのも一案です。どちらが便利かは、角度の大きさや使う場面で変わりそうです。

もっと読むなら、コトバンクの『日本大百科全書』の分度器の項目［1］、スミソニアン博物館の分度器の紹介［3］、UNLVの360度の解説［7］が入り口になります。

手元の分度器で、半円分度器の0度の線と180度の線が一直線であることを確かめる。次に、200度ほどの角を紙に描き、180度＋20度と、360度−160度の2通りで測り、答えが一致するか調べる。全円分度器があれば並べて、どちらが読み取りやすいかを比べる。

資料としては、分度器の定義と種類を扱う『日本大百科全書』［1］、1589年の記録と標準的な道具になるまでを述べたスミソニアンの特集［3］、江戸末期の全円儀・半円儀を所蔵する江戸東京博物館のアーカイブ［6］、360度の由来を3つの理由に整理したUNLVのJefferyのページ［7］が出発点になる。

残る問いは、「なぜ半円が最初に選ばれたのか」だ。半円の目盛りを持つ器具が数百年前に見られること、全円との併存が江戸末期にあることまでは分かったが、選択の理由を直接書いた資料は今回の調べでは見当たらなかった。ここは自分で探す価値のある空白だ。