ギターの げんを はじくと、「ボーン」と おとが でます。この とき げんは、めに みえない ほど はやく、ふるえて います。

1秒びょうの あいだに なんかい ふるえるかを、周波数しゅうはすうと いいます。おおくの ばあい、ふるえる かずが おおいほど たかい おとに きこえます［1］。

ふつうの「ラ」の おとは 440Hz。たんいの Hz（ヘルツ）は 1秒びょうあたりの かいすうで、440Hzなら 1秒びょうに 440かい ふるえる ことです［1］。

てを 1秒びょうに 2かい ふるのと、10かい ふるのを くらべて みて ください。10かいの ほうが「ふるえる かず」が おおい わけです。ただし ほんとうの おとは、てでは まねできない ほど、こまかく ふるえます。

では、げんの ふるえる かずを ふやすには、どうすれば いいのでしょう。ためしに、げんを まんなかで おさえて みます。

ギターの弦をはじくと、弦は目に見えないほど速く行ったり来たりします。この往復を「振動」と呼び、1秒間に何回振動するかを周波数しゅうはすう（振動数）といいます。単位はHz（ヘルツ）です［1］。

多くの場合、振動の回数が多いほど高く聞こえます。標準的な「ラ」は440Hzで、1秒間に440回振動する音のことです［1］。「1Hzは1秒に1回」ですから、数字がそのまま回数になります。

手を1秒間に2回振るのと10回振るのを比べると、回数の差が想像しやすいかもしれません。実際の音は、手では追いつけないほど細かく振動しています。

では、この回数を変えるには何を変えればよいのでしょうか。弦を真ん中で押さえると、何が起きるのかを見てみます。

音の高さは、1秒間の振動回数、すなわち周波数（振動数）で表し、単位はHzである。多くの場合、回数が多いほど高く聞こえる。標準音の「ラ」は440Hz、つまり1秒間に440回の振動だ［1］。

ここで注意したいのは、周波数が測定できる物理量であるのに対し、高さ（ピッチ）は人が感じる主観的な性質だという区別だ［5］。多くの場面で両者は対応するが、同じものではない。この区別は5章で効いてくる。

ではまず、周波数のほうを動かす方法を弦で調べる。弦の中央を押さえると何が変わるのだろうか。

ギターの げんを、まんなかで おさえて はじいて みましょう。おさえない ときより、ちょうど 1オクターブ たかい おとが でます［1］。

おさえた ところから はしまでの ながさが、はんぶんに なるからです。ながさが はんぶんに なると、ふるえる かずは 2倍に なります。

1オクターブ あがると、ふるえる かずは 2倍。440Hzの「ラ」の 1オクターブ うえは、880Hzの「ラ」です［5］。

ながい なわを ゆらすより、みじかい なわの ほうが すばやく ゆれる ことを おもいだして ください。げんも ながさが みじかいと、はやく ふるえます。ただし ほんとうの げんは、めに みえない ほど はやいのです。

ながさの ほかにも、ふるえる かずを かえる ものは ありそうです。げんの ふとさや、ひっぱる ちからは、どうでしょう。

弦の長さを半分にすると、周波数は2倍になります。弦の中央を押さえると、押さえた点から端までの長さが半分になり、振動数は押さえないときの2倍になります。これが、1オクターブ高い音です［1］。

オクターブは、周波数の比が2倍のことです。440Hzの「ラ」の1オクターブ上は880Hzになります［5］。440から880へ上がっても、880から1760へ上がっても、聞こえ方は「ちょうど1つ上の同じ名前の音」です。足し算ではなく、2倍ずつで上がるのが音の高さの特徴です。

ここまでは、長さだけを変えました。弦の高さを変えるものは、ほかにもあるのでしょうか。

弦の基本振動の周波数は、弦の長さLに反比例する（f₁＝v/2L）。弦の中央を押さえると波長の取れる長さが半分になり、f₂＝2f₁、つまり1オクターブ上の音になる［1］。

周波数が2倍の関係が1オクターブである。A440の1オクターブ上は880Hzだ［5］。数直線上で等間隔なのは周波数の差ではなく比であり、このため低い音ほどオクターブの幅（Hz差）が小さい。

では、高さを決める要素は長さだけなのか。同じ長さの弦を2本並べたとき、太さや張りで差は出るのだろうか。

げんの ふるえる かずは、3つで きまります。みじかい ほど、たかい。かるい（ほそい）ほど、たかい。つよく はる ほど、たかい［2］。

ギターの ペグを まわして げんを つよく はると、おとが たかくなるのは、この ためです。

この きまりは「メルセンヌの ほうそく」と よばれます。メルセンヌは、1636ねんの ほんで しめしました［2］。ガリレオも おなじような けっかを だして いましたが、じっけんで たしかめた メルセンヌの なまえが ついた と いわれます［2］。

では、ピアノの ひくい おとは、どうして つくって いるのでしょう。

弦の周波数は、長さに反比例し、弦を引く力（張力）の平方根に比例し、1メートルあたりの質量の平方根に反比例します［2］。短く、軽く、強く張るほど高くなる、ということです。

注意したいのは、張力が2倍になっても周波数は2倍にならないことです。平方根なので、周波数を2倍にするには、張力を4倍にする必要があります。

この関係は、1636年にメルセンヌが著書『Harmonie universelle』で示したとされます。ガリレオも似た結果を出していましたが、実験で確かめたメルセンヌの名前が法則についた、と説明されています［2］。

では、これを楽器づくりにどう使うのでしょうか。ピアノの低い音は、どんな弦で出しているのかを見ます。

弦の基本周波数は、長さに反比例し、張力の平方根に比例し、単位長さあたりの質量の平方根に反比例する。これがメルセンヌの法則である［2］。平方根の効き方は重要で、張力を2倍にしても周波数は約1.4倍にしかならない。2倍にするには張力を4倍にする。

この関係は、1636年のメルセンヌの『Harmonie universelle』で示されたとされる。ガリレオ（ガリレイ）も同様の結果を出していたが、実験で確かめたのがメルセンヌだったため、この名で呼ばれる、という説明がある［2］。関係そのものを最初に考えたのは彼ではない点は、名前から受ける印象と異なる。

では、この3つの変数は、実際の楽器でどう使い分けられるのか。低音弦の作りが、その答えの1つになる。

ひくい おとを ほそい げんだけで だそうと すると、げんを とても ながく しなければ なりません。ながさを 2倍に すると、1オクターブ ひくく なるからです［4］。それでは ピアノが おおきすぎます。

そこで、ピアノの ひくい おとの げんには、どうの せんが まいて あります。おもく なった げんは、ゆっくり ふるえるので、みじかい まま ひくい おとが でます［3］。

ブランコの くさりの さきに おもい ものを つけると、ゆっくり ゆれる ことを おもいだして ください。ただし げんの ばあいは、ながさや はる ちからも かかわります。

げんに せんを まく くふうは、バイオリンでは 1660ねんごろ イタリアで はじまった と いわれます。ピアノでは 18世紀せいきの おわりから 1820ねんごろの ことです［4］。

ここまでは、「ふるえる かず」が たかさを きめる はなしでした。では、わたしたちが きく たかさは、いつも ふるえる かずと おなじなのでしょうか。

長くするか、重くするか

低い音を出すには、弦を長くするか、太くして重くする必要があります。弦の長さを2倍にすると、1オクターブ下がります。細い弦のままで低い音を出そうとすると、楽器が大きくなりすぎます［4］。

そこでピアノの低音域では、弦に銅線を巻いて太く重くしています。重い弦ほどゆっくり振動し、低い音になるので、短いままでも低い音が出せます［3］。メルセンヌの法則の「質量」を変えて、「長さ」を節約している、といえます。

巻線弦が生まれた時期

金属線を巻いた弦は、バイオリンでは1660年ごろのイタリアが最初とされ、ピアノでは18世紀末から1820年ごろに登場したと説明されています［4］。年は「ごろ」で、資料ごとに幅があります。

ここまで、高さは「振動の回数」で決まる、という話でした。では、聞こえる高さは、いつも振動の回数と同じなのでしょうか。

低音を出すには弦を長くするか太くする必要があり、弦の長さを2倍にすれば1オクターブ下がる。ただし、細い弦のままで低い音を出そうとすると、楽器が実用的でない大きさになる［4］。

そこでピアノの低音域は、弦に銅線を巻いて質量を増してある。重い弦ほどゆっくり振動し、低い音になるため、短いまま低音が出せる［3］。メルセンヌの法則でいえば、単位長さあたりの質量を増やして、長さの条件を緩めた設計だ。

金属線を巻いた弦は、バイオリンでは1660年ごろのイタリアが最初とされ、ピアノでは18世紀末から1820年ごろだという記述がある［4］。年は「ごろ」であり、断定はできない。

ここまでは、周波数を決める物理の話だった。では、人が聞く高さは、常に周波数と一致するのか。次の章では、その一致が崩れる例を扱う。

おとの たかさは、ふるえる かずという はかれる ものです。けれど、わたしたちが「たかい」「ひくい」と かんじる ことは、あたまの なかの はたらきでも あります［5］。

たとえば、1000Hzと 1200Hzの おとを いっしょに きくと、200Hzの たかさも きこえる ことが ある と いわれます［6］。200Hzの ふるえは、ならして いません。

ひとつの おとには、いちばん ひくい もとの ふるえの ほかに、その 2倍、3倍…の ふるえが まざって います。もとの ふるえが なくても、のこりの ふるえの ならびかたから、あたまが もとの たかさを さがして いる と せつめいされます［6］。

ひろげた パズルの いちぶが ぬけて いても、ぜんたいの えが わかる ことに にて います。ただし、これは たとえです。ほんとうの あたまの はたらきは、パズルとは ちがいます。

ふるえる かずと、わたしたちが きく たかさは、ぴったり おなじ ものでは ない ようです。では、その「ラ＝440Hz」は、だれが いつ きめたのでしょう。

1つの音には、高さを決める基本の周波数（基音）と、その整数倍の周波数の成分（倍音）がまざっています。基音を取りのぞいても、倍音が残っていれば、聞こえる高さはほとんど変わらないことが知られています［6］。

たとえば、1000Hzと1200Hzの音を合わせると、200Hzの高さも聞こえることがあります。1000Hzは200Hzの5倍、1200Hzは6倍にあたります。脳が、聞こえた倍音の関係から、共通する基音を求めていると説明されます［6］。ただし、脳の中でどんな処理をしているかまで、この説明は決めきっていません。

ここから、高さ（ピッチ）は人が感じる主観的な性質で、周波数は測れる物理量という区別が出てきます［5］。ふだんは両者がほぼ一致するので気づきにくいのです。

周波数と聞こえる高さは、ぴったりは重ならないようです。では、基準になる「ラ＝440Hz」は、だれがどのように決めたのでしょうか。

一般に、音は基音（基本周波数）と倍音（基音の整数倍の成分）から成る。基音を除去しても、倍音が残っていれば、聞こえる高さはほぼ変わらない。これがミッシングファンダメンタルである［6］。

例として、1000Hzと1200Hzの音を同時に鳴らすと、200Hzの高さも聞こえることがある。1000と1200の最大公約数が200で、脳は聞こえた倍音から、共通の基音を求めているとされる［6］。ただし「脳が補う」という説明は通説的なもので、神経での仕組みまで確定したわけではない。

この例が示すのは、高さ（ピッチ）が測定できる周波数と同一ではなく、主観的な心理音響学上の性質であることだ［5］。周波数を決める物理（1〜4章）と、高さを感じる知覚は、通常は一致するが、ずれる条件がある。

では、その「基準の高さ」自体は、どのように決まったのか。次の章では、440Hzの歴史を見る。

「ラ」が 440Hzなのは、はじめから きまって いたわけでは ありません。1860ねんだいに、フランスが 435Hzを ひょうじゅんに きめ、おおくの くにや だんたいが つかいました［7］。

440Hzと 435Hzは、5Hzしか ちがいません。1939ねんの 5がつには、イギリスの ロンドンに、いくつかの くにの だいひょうが あつまって、えんそうの たかさを はなしあいました［7］。

440Hzは、1955ねんに こくさいてきな きかく（ISO）の あんとして とりあげられ、1975ねんに せいしきな きまりに なりました［7］。

バーンスタインは、ニューヨーク・フィルを、442Hzに あわせる ことが おおかった と いわれます。いまの えんそうの たかさは、440Hzだけでは ありません［7］。

おとの たかさは、ふるえる かずで きまり、ひとの あたまの はたらきも かかわり、きまりも ときどきで うごいて きた のです。じぶんの めで たしかめる ほうほうを、つぎに のせます。

音の高さの基準は、時代や場所で動いてきました。1860年代にフランスが435Hzを標準と定め、多くの国や団体がそれを採用したとされます。1939年5月には、ロンドンのBBC放送会館に各国の代表が集まり、演奏会の高さについて話し合いました［7］。

A＝440Hzを基準とする案は、1955年に国際標準化機構（ISO）が勧告R16として採用し、1975年にISO 16として正式な規格になりました［7］。

435Hzと440Hzの差は5Hzです。500Hzより低い音では、純音（正弦波）で3Hz程度、複数の周波数がまざった音なら1Hz程度の差が聞き分けの目安とされます［5］。この目安は人や条件で変わりますが、5Hzの差は、音を聞き比べる場面では判別されうる大きさです。

たとえば、バーンスタインはニューヨーク・フィルをしばしばA442に調律したと伝えられています。実際の演奏の基準は、440Hzだけではありません［7］。

音の高さは、ふるえる回数という物理と、人が感じる高さと、人間どうしの取り決めの3つが重なってできています。

基準音には、440Hz以外の時代もあった。1860年代にフランスが435Hzを標準と定め、多くの国や団体が採用した。1939年5月には、ロンドンのBBC放送会館に各国代表が集まり、演奏会ピッチを協議している［7］。

そのうえで、A＝440Hz案は、1955年にISOが勧告R16として取り上げ、1975年にISO 16として正式化された［7］。なぜ435Hzから440Hzに移ったのかは、ここで用いた資料からは読み取れない。

435Hzと440Hzの差5Hzは、聞き分けの目安と比べるとどうか。500Hz未満では、純音で約3Hz、複合音で約1Hzの差が弁別の目安とされる［5］。目安なので個人差・条件差はあるが、5Hzは小さくない差になる。

バーンスタインは、ニューヨーク・フィルをしばしばA442に調律した。規格が正式化されても、現場の基準は一定ではない［7］。周波数という物理量に、人が感じる高さと、人の取り決めが重なっているのが、音の高さの実態だといえる。

今日できること：輪わゴムを、はこの ふちに かけて ピンと はり、ゆびで そっと はじいて みましょう。つぎに、まんなかを ゆびで おさえて はじきます。どう ちがうか、みみで たしかめて ください。

つぎに、おなじ 輪わゴムを、すこし ひっぱって はじいて みます。ふとい ゴムと ほそい ゴムも くらべます。ただし、輪わゴムは かおや めの ちかくで はじかない ように しましょう。

おんがくしつの ピアノの なかを みせて もらえる ときは、ひくい おとの げんが ほかの げんと ちがう ところを さがして みて ください。

今日できること：箱の縁に輪ゴムをかけて張り、指で軽くはじきます。次に、輪ゴムの真ん中を指で押さえて、もう一度はじきます。押さえると高い音になるかを、耳で確かめます。

そのあと、輪ゴムを少し強く引っぱって、はじきます。太い輪ゴムと細い輪ゴムの音も比べます。ちょうど2倍になるかは耳では決めにくいですが、高さの変化は聞き取れるでしょう。輪ゴムは顔や目の近くではじかないでください。

出かけてできること：学校の音楽室などでピアノの中を見せてもらえる機会があれば、低い音の弦が、ほかの弦とどう違うかを見てみましょう。

輪ゴムを箱の縁に張ってはじき、中央を押さえたとき、引っぱったとき、太さを変えたときの音を聞き比べる。ゴムは伸びると太さも張力も変わるため、メルセンヌの法則の式どおりの結果にはならない。顔・目の近くではじかない。

資料を読むなら、弦の振動と周波数は高校の教材［1］、法則の説明は［2］、ピアノの低音弦の構造は［3］と［4］が出発点になる。基音と倍音の例は［6］、基準音の歴史は［7］にある。英語の資料も多いので、辞書を片手に挑戦するのもよい。