紙に 三角形を かいて、切りとります。3つの 角を ちぎって、とがった ところを 1か所に あわせて ならべます。

3つの 角の すきまが なくなって、上が まっすぐな 線に なります。まっすぐな 線は 180度です。だから、3つの 角を たすと 180度です［3］。

日本の 学校では、小学5年生の さんすうで、この ちぎって あつめる やりかたを ならう ことが 多いようです［3］。

でも、紙で ためせるのは、かいた 三角形だけです。どんな 三角形でも そうなると 言うには、りゆうが ひつようです。

ちぎって集める

紙に三角形をかいて切りとり、3つの角をちぎって、頂点を1点に合わせて並べます。すき間なく一直線になり、一直線の角は180度ですから、3つの角の和は180度です。小学5年生の算数では、この方法で確かめる授業が紹介されています［3］。

でも、それは証明ではない

ただし、ちぎって並べられるのは、実際にかいた三角形だけです。もっと細長い三角形や、とても大きな三角形でも同じになるのかは、紙の実験だけでは決まりません。「どんな三角形でも」と言うには、理由が必要です。

その理由は、線を1本引くだけで見えてきます。

紙の角を切りとって一直線に並べる方法は、小学5年生の算数で使われる確かめ方である［3］。手を動かせば納得しやすいが、確かめられるのは手もとの三角形だけだ。無数にある三角形すべてに通用すると言うには、実験とは別の、理由の筋道が要る。

数学ではその筋道を「証明」と呼ぶ。日本の学校では中学2年で、平行線の性質（錯角・同位角）をもとに内角の和を説明する流れが一般的だとされる［3］。この証明は、2000年以上前の古代ギリシャの本にすでに書かれている。

では、その証明は何を使っているのか。鍵になるのは、平行線を1本引くことである。

三角形の いちばん 上の とがりを 通って、下の へんと 平行な 線を ひきます。

平行な 線を よこぎる 線が あると、はす向かいの 角は おなじ 大きさに なります。さっかくと いう 名前です。だから、下の 2つの 角と おなじ 大きさの 角が、上の とがりに 2つ できます［2］。

上の とがりには、もとからの 角も あります。3つの 角が よこに ならんで、ぴったり 一直線に なります。だから、3つの 角を たすと 180度です。

この 考え方は、ユークリッドと いう 人が まとめた 古い 数学の 本「げんろん」にも のっています。じつは、今の 中学校で ならう しょうめいと、ほとんど おなじ 形です［1］［2］。

ただ、本には「180度」とは 書かれて いません。「2直角」と 書いて あります［1］。

とがりを通る平行線

三角形ABCで、頂点Cを通り、辺ABに平行な線を引きます。平行線を別の線が横切るとき、はす向かいの角（錯角）は等しくなります。すると、頂点Cのまわりに、角A、角C、角Bと同じ大きさの角が3つ、横に並びます［2］。

3つの角は一直線の上に並ぶので、合わせて180度です。ちぎって集めた紙の角を、頭の中で、平行線がやってくれたことになります。

『原論』の書き方

ユークリッドの『原論』第1巻の命題32は、これと同じ形の証明です。ただし『原論』は「180度」とは書かず、「2直角に等しい」と述べます［1］［2］。

ここで1つ、気になることが出てきます。この証明は、平行線が引けること、錯角が等しいことを当たり前として使いました。それは、本当に当たり前でしょうか。

『原論』第1巻命題32は、三角形の1辺をのばしたときの外角が、となりあわない2つの内角の和に等しいこと、そして3つの内角の和が2直角に等しいことを述べる［1］。この本には「180°」という書き方はなく、直角を単位にした「2直角」である。

証明の手順はこうだ。頂点Cを通り辺ABに平行な直線CEを引く（命題31）。平行線の錯角は等しい（命題29）ので、角BACと角ACEは等しく、同様に角ABCと角BCDも等しくなる。その結果、頂点Cに角A・角C・角Bの大きさの3つの角が並び、一直線をなす［2］。中学校で習う証明と、図の描き方まで同じ形である。

だが、この証明には前提がある。平行線がただ1本引けること、錯角が等しいこと。これらは何から導かれるのか。そこを調べると、180°が「平らな面」という条件つきの事実だと分かってくる。

平行な 線は、どこまで のばしても まじわりません。この やくそくは、ユークリッドの 数学では「きまり」の ひとつでした。

この きまりは、ほかの きまりと くらべて 長くて、ふしぎな 形を して いました。そこで 2000年 いじょうの あいだ、「ほかの きまりから わけを 言えないか」と、たくさんの 人が ためしました［5］。

じつは、「3つの 角を たすと 180度」と いう こと自体が、この 平行線の きまりと セットに なって います。ほかの きまりを みとめた うえでは、おなじ ことを 言って いる のです［6］。

だったら、平行線の きまりを かえたら、三角形の 角の 和も かわるのでしょうか。

長くて、ほかのきまりと似ていない1つ

ユークリッドは、図形の議論の出発点として、いくつかの「公準」（きまり）を置きました。その5つ目は、「1本の直線が2本の直線と交わり、同じ側の内角の和が2直角より小さいなら、2本の直線は十分のばすと、その側で交わる」というものです［5］。ほかの公準より長く、証明できそうに見えたため、2000年以上、ほかの公準から導こうとする試みが続きました［5］。

180度と同じ意味を持つ

「三角形の内角の和は180度である」という命題は、ほかの公準を前提にすると、この平行線の公準と同値だとされています。点を通って直線に平行な線は1本だけ引ける、という言い方も同値な形の1つです［6］。

つまり、180度は「どんな世界でも成り立つ事実」ではなく、平行線のきまりの上に立つ結果です。きまりを変えたら、何が起きるのでしょうか。

『原論』は、議論の出発点として「公準」をいくつか置く。第5公準は、1直線が2直線と交わり、同じ側の内角の和が2直角より小さいとき、2直線は十分のばすとその側で交わる、と述べる。ほかの公準より長く複雑なため、これを残りの公準から導こうとする試みが、2000年以上にわたって続いた［5］。

注意したいのは、第5公準そのものが「内角の和は180°」ではないことだ。両者は、ほかの公準を前提にしたときに同値になる、別々の命題である［5］［6］。「点を通り、直線に平行な線はただ1本」というプレイフェアの公理も、その同値な形の1つとされる［6］。

この同値は、次のことを意味する。平行線のきまりを手放せば、「内角の和＝180°」も同時に手放すことになる。たとえば「直線の外の1点を通る平行線が、無数に引ける」ときまりを置きかえた幾何が双曲幾何で、そこでは内角の和が180°より小さくなる。実際に手放した数学はあるのか。

ちきゅうぎで、北極ほっきょくから 赤道せきどうへ むかう 線を 2本、ひきます。2本は、赤道の 上で 4分の1しゅう はなれて います。そして 赤道の 上の 2つの 点を、赤道ぞいに つなぎます。

できた 三角形は、3つの 角が ぜんぶ 直角、90度です。たすと 270度で、180度より 90度も 大きく なります。これは 計算で 出した 数です［7］。

ちきゅうぎの、北極ほっきょくから 下へ のびる 線や 赤道せきどうのように、球の 上を いちばん まっすぐ すすむ 線を へんに した 三角形は、角の 和が 180度より 大きく なります。大きく なった ぶんが 大きい ほど、三角形の ひろさも 大きく なります［7］。

ぎゃくに、いつも 180度より 小さく なる 面も、数学では 考えられて います［8］。

1800年代に、ロバチェフスキーと ボヤイと いう 人が、平行線の きまりを かえた 新しい 数学を 発表はっぴょうしました［9］。

北極と赤道でつくる三角形

地球儀で、北極から赤道へ向かう経線を2本、赤道上で経度が90度ちがうように選びます。2本の経線と赤道でできる三角形は、3つの角がすべて90度です。和は270度で、180度を90度も超えます。この数は、球面上の三角形の性質から自分で計算した例です［7］。

地球儀の経線や赤道のように、球の中心を通る平面で球を切ってできる円（大円）の弧を辺にした三角形では、角の和は180度より大きく540度より小さい範囲に入り、180度を超えた分が大きいほど面積も大きくなります［7］。ちなみにこの三角形は、地球の表面の8分の1にあたります。

反対に、和が小さくなる面

球とは反対向きに曲がった面（馬のくらのような形がたとえによく使われます）の上では、三角形の角の和はいつも180度より小さくなります。足りない分を角欠損といい、面積はこれに比例します［8］。

きまりを変えた数学

平行線のきまりを変えた幾何学は、1700年代にサッケーリやランベルトらが調べ、1829〜30年にロバチェフスキー、1832年にボヤイが発表しました［9］。ガウスも同じような考えを手紙に書いたものの、公表しなかったとされます［6］。

では、この話を地面の上で確かめようとした人はいたのでしょうか。

大円の弧を辺とする球面三角形の内角の和は、180°より大きく540°より小さく、180°を超えた分（球面過剰）に面積が比例する［7］。たとえば北極と、赤道上で経度が90°ちがう2点を結ぶと、3つの角はいずれも90°で、和は270°になる。過剰は90°で、この三角形は球の表面の8分の1にあたる。これは球面の性質からの計算で、資料に載っている数値ではない。

反対に、平行線のきまりを置きかえた双曲幾何では、三角形の内角の和は常に180°より小さく、足りない分（角欠損）に面積が比例する［8］。つまり面の曲がり方が、和が180°より大きいか、ちょうどか、小さいかを分ける［9］。

ここで重要なのは、これが「おかしな世界の話」ではないことだ。平行線公準を否定しても矛盾なく成り立つ幾何を、サッケーリ（1733年）やランベルト（1766年）が調べ、ロバチェフスキーが1829〜30年、ボヤイが1832年に発表した［9］。ガウスも同様の考えを私的な手紙に書いたが、公表しなかったとされる［6］。

この中で、ガウスには有名な話がつきまとう。彼は山の上で、三角形を測って宇宙が曲がっているかを調べたというものだ。

ガウスは 1820年代、ハノーファー王国で、土地を はかる 仕事を して いました。3つの 山の てっぺんを むすぶ、大きな 三角形を はかった ことが あります［10］。

「宇宙うちゅうが 曲がって いるかを ためした」と いう 話が あります。けれど これは、あとの 時代に できた 伝説でんせつらしいと されます［10］［11］。

ねらいは、小さな 三角形で はかった けっかを たしかめる ことや、地球の 形の ずれを しらべる ことでした［10］。

それでも、三角形の 角の 和を はかれば、その 場所が 平らかどうかが わかると いう 見方は、球の 上の 三角形で たしかに 言えます。

ハノーファー王国の測量

ガウスは1820年代、ハノーファー王国の測量で、ホーエハーゲン、ブロッケン、インゼルスベルクという3つの山頂を結ぶ大きな三角形を測りました。ねらいは、多数の小さな三角形で出した結果を確かめることと、地球の形からのずれを調べることでした［10］。

「宇宙の曲がり」は後世の話

「ガウスは、空間がユークリッド的かを調べようとした」という話はよく知られています。ところが、この測量は、その問いを持ち出さなくても十分に説明がつきます［10］。「宇宙の曲率を調べる実験だった」という話は、別の資料でも、知られているかぎり神話だとされています［11］。

それでも、球の上の三角形で見たとおり、角の和は面の曲がりを映します。伝説をきっかけに、「確かめるには何を測ればよいか」を考えるのは、むだではありません。

ガウスは1820年代、ハノーファー王国の測量事業の中で、ホーエハーゲン・ブロッケン・インゼルスベルクの3つの山頂を結ぶ大きな三角形を測った。目的は、26個の小さな三角形の測定結果を確かめることと、地球の形のずれを調べることだった［10］。

この測量が「空間が曲がっているかどうかを確かめる実験」だったという話は、よく語られる。だが、そう考えなくても大三角形の測量は説明できる［10］。別の資料も、これを「知られているかぎり神話」としている［11］。

伝説は伝説として、角の和が面の曲がりで変わることは、球面上の三角形で実際に言える。ならば、この「条件つきの事実」を、手もとの道具でどう確かめられるだろうか。

紙に 三角形を 3つ かいて、切りとります。1つは ほそ長く、1つは ひらたく、1つは ふつうの 形に します。3つの 角を ちぎって あつめると、どれも 一直線に なりますか。

はさみは、気を つけて つかって ください。

ちきゅうぎが 家に あれば、北極ほっきょくから 赤道せきどうへ 向かう 線を、ゆびで 2本 たどって みましょう。赤道に ぶつかる ところで、どんな 角に 見えますか。

家の紙と地球儀でできること

紙に形のちがう三角形を3つかいて、それぞれ角をちぎって集めてみましょう。細長い三角形でも、平たい三角形でも、一直線になるかを確かめます。はさみを使うときは、手を切らないよう気をつけます。

地球儀があれば、北極から赤道へ向かう経線を指でたどり、赤道とぶつかる角が直角に見えるか観察してみます。北極でできる角と合わせて、3つの角を数えると、紙の三角形とはちがう和になることが分かります。

もう1つ、数えてみる

北極と赤道の2点でつくった三角形は、地球の表面の8分の1です。同じ形の三角形を8枚つなげると、地球儀の表面がちょうどおおえるはずです。地球儀の線をたどって、本当にそうなるか数えてみましょう。

手もとで検算できることが2つある。1つは紙の実験で、形のちがう三角形を3つ作り、角を切りとって並べ、いずれも一直線になるかを見る。確かめられるのは、あくまで平面上の三角形だという点を、頭に置いておく。

もう1つは地球儀の観察で、北極から赤道に向かう経線を2本、赤道上で経度が90°ちがうように選ぶ。3つの角は90°ずつと見え、和が270°になることを、球面の性質（和は180°より大きく540°より小さい）と照らし合わせられる［7］。

原典にあたるなら、Clay Mathematics Instituteの『原論』第1巻命題32と、Heath訳の注釈がある［1］［2］。日本語では、平行線公準と三角形の項目が入口になる［6］［4］。