りくつを かんがえる ための モデルの はなしです。へやの まどを ぜんぶ ふさいだ とします。そとの くうきは、もう はいって こられません。かぜの とおる みちが ふさがると、あたらしい かぜは はいれないのです。

りそうの ふうしゃの モデルで、かぜの ちからを ぜんぶ もらうと かんがえて みます。すると、ふうしゃの うしろで かぜは ぴたりと とまります。とまった かぜが のこると、まえから くる かぜが とおれません。だから ふうしゃの うしろにも、かぜが のこらないと いけないと いわれます［1］。

ただし ほんとうの かぜは、へやの くうきほど かんたんでは ありません。これは、りくつを わかりやすく する ための たとえです。

では、かぜを どれくらい のこせば いちばん いいのでしょう。

これは、理想化したモデルでの説明です。密閉した部屋の窓を全部ふさいだら、外の空気は入ってこられません。モデルの風車でも、似たことが起きると説明されます。

理想モデルで、風の持つエネルギーを残らず取り出すと仮定すると、風車を通ったあとの風の速さはゼロになります。風が風車のところで止まってしまえば、そのあとに来る新しい風が入れません［1］。風を流し続けるには、風車の後ろにも風が残っている必要があります。

実際の空気の流れは、この単純な絵ほどきれいではありません。ここで述べたのは、上限のわけを考えやすくするための理想化した説明です。

全部は取れない。では、どれだけ風を残せば、取れる量がいちばん大きくなるのでしょうか。

理想モデルで、風の運動エネルギーを100%取り出すと仮定すると、風車通過後の風速がゼロになるはずである。通過後の空気が止まれば、後ろから前の空気が出ていけず、新しい風が風車へ入れなくなる。風を流し続けるためには、風車の後方にも運動エネルギーが残らなければならない［1］。

この説明は流れを一次元に理想化した考え方で、実機の流れが厳密にこの通りというわけではない。上限が成り立つ条件は4章で整理する。ここでは、取り出す量が大きすぎても、風を止めてしまえば元も子もない、という矛盾が出発点になることを押さえておく。

では、風をどこまで遅くするのがちょうどよいのか。次の章で、その最大点を探す。

かぜを ぜんぜん おそく しなければ、ふうしゃは なにも もらえません。ぜんぶ とめれば、さっきの もんだいが おきます。ちょうど いい ところが、まんなかの どこかに あります。

けいさんで しらべると、かぜが ふうしゃを とおった あとの はやさが、はじめの 3ぶんの1の とき、もらえる ちからが いちばん おおきく なります［3］。

ふうしゃの ところの かぜは、はじめの はやさの 3ぶんの2です。うしろの かぜは 3ぶんの1。この ふたつの まんなかを とると、3ぶんの2に なります。

「3ぶんの1」と「3ぶんの2」は、まちがえやすい かずです。うしろの かぜが 3ぶんの1、ふうしゃの ところが 3ぶんの2と おぼえて おきましょう。

風をまったく遅くしなければ、風車は何ももらえません。全部止めれば、前の章の矛盾が起きます。いちばんよい点は、その中間にあります。

計算すると、風が風車を通りぬけたあとの速さが、元の風速のちょうど3分の1になったときに、取り出せるエネルギーが最大になります［3］。

ここで、2つの「分数」を区別しておく必要があります。風車の位置の風速は、元の風速と通過後の風速の平均になります。元を1、通過後を3分の1とすると、平均は3分の2です。つまり、風車の後ろでは3分の1、風車のところでは3分の2。この2つを取りちがえないのが、読むときのコツです。

では、そのとき実際に何割くらい取れるのでしょうか。電卓で確かめてみましょう。

風速をv1、風車通過後の風速をv2とおくと、風車の位置の風速はその平均になる。取り出せる仕事率を比 v2/v1 の関数とみて微分すると、v2/v1＝1/3 で最大になる［3］。このとき風車位置の風速は元の2/3で、混同しやすい「1/3（通過後）」と「2/3（羽根車位置）」は別の量である。

軸方向誘導係数 a を使うと、この関係は簡単に書ける。羽根車の位置で風速が元の (1−a) 倍に落ちるとすると、通過後の風速は元の (1−2a) 倍になる。平均の (1＋(1−2a))÷2＝1−a と一致する。最大点は a＝1/3、通過後の風速はそのとき 1−2/3＝1/3 である。

この a の値で、取り出せる割合はどうなるのか。次の章で計算する。

3ぶんの1の ときに もらえる ちからは、はじめの かぜの ちからの 27ぶんの16です［4］。パーセントに すると、およそ 59パーセントです。

100パーセントの はんぶんより すこし おおきい くらいです。ぜんぶ もらえると おもった ひとには、すこし ざんねんな かずかも しれません。

でも、これは ひろい ばしょに おく 1つの りそうの ふうしゃの ばあいの うえかぎだと いわれます［1］。このばあいは、じょうずに つくっても、りくつの うえで こえられません。かぜを あつめる とくべつな そうちなどは、この きまりが あてはまらない ことが あります。

ここが、この きじで いちばん つたえたい ところです。「かぜを 3ぶんの1まで おそくした とき、もらえるのは いちばん ふやして 59パーセントくらい」。

広い空間に置く単一の理想風車では、風車が受ける風のエネルギーに対する、取り出せる割合を、パワー係数 Cp といいます。軸方向誘導係数 a という数を使うと、Cp＝4×a×(1−a)×(1−a) と書けます。a は「風車の位置で、風速が元の風速から割合でどれだけ下がったか」を表す数です。風車の位置の風速は元の(1−a)倍になります。a＝1/3 なら風車の位置で2/3倍、通過後は1/3倍で、a＝1/3 は前の章の最大点にあたります［4］。

検算してみます。4×(1/3)×(2/3)×(2/3)＝16/27で、小数にすると約0.593です。16/27は約59.3%で、これが上限として知られる値と一致します［1］。

a を変えて、電卓で同じ式を計算すると、最大点の意味が見えてきます。

• a＝0.1：約0.324（風をあまり遅くしない）
• a＝0.2：約0.512
• a＝0.3：約0.588
• a＝1/3：約0.593（最大）
• a＝0.4：約0.576
• a＝0.5：0.5（風車の後ろの風速は0になる）

後ろで風を止めるa＝0.5でも、取れるのは50%です。遅くしすぎると、かえって減ります。「全部止めれば全部取れる」という考えは、式の上でもはずれます。なお、この上限は、風通しのよい場所に置く1枚の理想的な風車についての値です。形や置き方を変えた特別な装置では、当てはまらないことがあります。

先に a の意味を確認する。a は、羽根車の位置の風速が元の風速の (1−a) 倍に下がることを表す。a＝1/3 なら風車位置は2/3倍、通過後は1/3倍である。

パワー係数 Cp は、風車の受風面積を通る風の運動エネルギーの流れに対する、取り出した仕事率の割合である。a を用いて Cp(a)＝4a(1−a)² と表され、a＝1/3 で最大値 16/27≒0.593 をとる［4］。検算は、4×(1/3)×(2/3)²＝4×(1/3)×(4/9)＝16/27 である。

a を動かして自分で計算すると、曲線の形が分かる。a＝0.1 で約0.324、a＝0.2 で約0.512、a＝0.3 で約0.588、a＝0.4 で約0.576、a＝0.5 で0.5になる。a＝0.5 は通過後の風速 1−2a がちょうど0になる点で、「風を止めた」極端な場合にあたるが、取り出せる割合はむしろ50%に下がる。最大点は止める手前の a＝1/3 にあり、前の章の矛盾が式の上でも確認できる。

16/27は、開放された流れの中に置く単一の理想風車についての理論上の上限として説明される。ダクトで風を集める装置や複数の円盤を並べる場合は、この前提から外れる［1］。ここで使った式と数値は、百科事典や解説記事などの二次資料による。日本語の辞典的な説明でも、薄い羽根車状の回転機械が流体の運動エネルギーから取り出せる最大の割合は16/27＝59.3%で、実際は羽根車での損失などでそれより小さくなるとされる［2］。

この上限は風車の実力そのものではなく、理想条件のもとでの天井である。では、実際の大型風車は、この天井のどこまで迫っているのか。

59パーセントは、りそうの せかいの かずです。りそうの ふうしゃには、はねの おもさや こすれる ちからが ありません。ほんものの ふうしゃには、それが あります。

いまの おおきな ふうしゃは、いちばん よく はたらく ときで、この うえかぎの 4ぶんの3から 5ぶんの4くらいまで せまると いわれます［1］。

これは いちばん よく はたらく ときの かずです。1ねんじゅうの かぜで ならした かずでは ありません。

ここまで せまって いるなら、もう のびしろは あまり ないのかも しれません。ふうしゃを つくる ひとたちは、こんどは かぜの つよい ばしょを えらんだり、はねの かたちを くふうしたりして います。

上限は、理想化した風車についての値です。計算では、風車を厚みのない円盤とみなします。ハブ（羽根の付け根）も、羽根の抵抗もなく、空気は一方向に流れ、密度は変わらず、円盤の全体で圧力が同じ、と考えます［1］。実物は、羽根が有限の枚数で、抵抗もあり、風車を通らない空気の引きずりもあります［2］。

そのため、実用の大型風車のパワー係数は最大時でおよそ0.45〜0.5。上限0.593に対して、約75〜85%にあたります（0.45÷0.593≒0.76、0.5÷0.593≒0.84）［1］。ただし、これは最も調子のよい運転状態での値で、1年を通して平均した発電効率ではありません。

パワー係数を理論上限に近づける余地は、小さくなっています。それでも風車の形は進化を続けています。次は、ベッツが羽根の形について書いたことと、限界の名前がついた順番を見ます。

上限 16/27 は、アクチュエータディスクという理想化の上で導かれる。前提は、ハブも抗力もない無限枚の羽根からなる円盤、一次元の軸方向流れ、一定密度の非圧縮流れ、円盤全面で一様な圧力分布である［1］。実機はこの前提から外れる。羽根は有限で、抗力があり、羽根車を通らない流体の引きずりも生じる［2］。

実用の大型風車のパワー係数は、最大時でおよそ0.45〜0.50で、上限の約75〜85%にあたる（0.45÷0.593≒0.76、0.50÷0.593≒0.84）。資料によっては「ピーク時に75〜80%」ともあり、幅がある［1］。重要なのは、これは運転がもっとも良い点での値で、年間を通した発電効率ではないことである。

上限が理論的な天井だとすれば、実機の改良の余地は、その下の4分の1ほどにある。そのうち羽根の形（揚力型か抗力型か）が大きく響くことを、上限と同じ研究者が示した。次は、その研究者が羽根の形について書いたことと、限界の名前がついた順番を見る。

この きまりは、「ベッツの げんかい」と よばれます。ドイツの アルベルト・ベッツと いう ひとの なまえです［1］。

ベッツは、ふねを つくる ぎじゅつしゃで、のちに おおきな くうきの けんきゅうじょの しょちょうに なりました［5］。1919ねんに はっぴょうしたと いわれます。

ところが、その まえの 1915ねんに、イギリスの ランチェスターと いう ひとが、おなじ こたえを だして いたそうです。ロシアの ジューコフスキーも、1920ねんに はっぴょうして います。

それでも、なまえは ベッツの ものに なりました。ほんとうに だれが さいしょかは、こうして あとから わかる ことが あります。

この上限は「ベッツの限界」と呼ばれます。ドイツの物理学者アルベルト・ベッツが、1919年に発表したとされる式にちなむ名前です（年は二次資料による）［1］。

ベッツは船舶技師で、ゲッティンゲン大学の空気力学の研究所で研究をした人物です。1936年には、有名なプラントルの後を継いで、その研究所の所長になりました［5］。

ところが、同じ結果をそれより先に得ていた人がいます。イギリスのフレデリック・ランチェスターは1915年に同じ結果を導いていて、ロシアのジューコフスキーも1920年に発表したと、二次資料では説明されています［1］。そのため、「ランチェスター・ベッツ限界」と呼ぶこともあります。

ベッツは1926年に風車の本を書き、1927年の論文では、翼に生じる揚力を使う風車のほうが、風に押される抗力型よりずっと有利だと述べました［6］。風車の形を考える土台を、限界の数字といっしょに作った人でもあります。

この上限は、ドイツのアルベルト・ベッツが1919年に発表したとされ、ベッツの限界の名で知られる。ただし1915年に英国のフレデリック・ランチェスターが同じ結果を導き、ニコライ・ジューコフスキーも1920年に発表していた。そのため、ランチェスター・ベッツ限界と併記されることもある［1］。ベッツの発表年は資料により1919年と1920年に揺れ、ここに挙げた年はすべて二次資料による。

ベッツは1885年12月25日生まれの船舶技師で、ゲッティンゲン大学の空気力学研究所で研究に入り、1919年にエネルギー損失が最小のプロペラの研究で博士号を得た。1920年に風力原動機の理論的最大利用の論文、1926年に風力エネルギーと風車による利用の著書を出し、1936年にプラントルの後任として研究所長になった（1956年まで）［5］。

1927年の論文「最新の研究から見た風車」は、翌1928年に米国のNACAが英訳した。翼の揚力を使う風車が抗力型より大きく有利であることなどを述べている［6］。上限の数字だけでなく、羽根の形の選び方まで含めて、風車の羽根に揚力を使う考え方を、抗力型との比較とともに説明した研究者でもある。

名前の先後が食い違うことは、科学では珍しくない。最初に導いた人と、広く知らせた人が別の場合、後者の名で呼ばれることもある。確かなのは、同じ答えが別の場所で独立に得られていたという点である。

きょう できること

かざぐるまを 見かけたら、はねと はねの あいだに すきまが あるか 見て みましょう。ぜんぶ ふさがないで かぜを とおして いる ことが、ふうしゃの かたちからも わかります。

でかけて できること

かぜの つよい かわらや うみべで、ふうしゃが あれば、はねが ゆっくり まわる ようすを 見て みましょう。ちかづきすぎないよう、おとなと いっしょに いきましょう。

電卓でできること

家にある電卓で、Cp＝4×a×(1−a)×(1−a) を、a＝0.25 や 0.35 などで計算してみてください。a＝1/3 のまわりでは変化がなだらかで、最大点のすぐ近くでは数字があまり動かないことが分かります。

風車を見かけたら

羽根の枚数と、羽根の間のすきまを数えてみてください。風を全部ふさぐ形ではなく、風を通しながら受ける形になっています。大型の風車に近づくときは、安全のため柵の外から眺めます。

読んでみる資料

日本語で読める風力発電の入門書や、国や研究機関の風力発電の解説に、パワー係数の説明があります。

追試

Cp＝4a(1−a)² を a＝0.25、0.35 などで計算し、最大点付近の平坦さを確かめる。a を横軸にした簡単なグラフを手書きすると、a＝0.5 で0.5まで下がる非対称な山形が見える。

原典と食い違いの確認

ベッツの1920年の論文（Zeitschrift für das gesamte Turbinenwesen）、1926年の著書、1927年の論文（Die Naturwissenschaften、1928年にNACAが英訳）が原典にあたる。発表年の揺れ（1919／1920年）は、論文名と掲載誌名を手がかりに原典を探し、掲載年を見れば確かめられる。ランチェスターの1915年の仕事との先後も、原典で読み比べる価値がある。

実機の値（0.45〜0.50）は二次資料による。NEDOの風力発電に関する資料や、各メーカーの公開資料を探して、パワー係数の実測値と運転条件を照らすと、「ピーク時の値」と「年間の効率」の違いが見える。