ノートに 平行な 線を 2ほん ひきたい とき、三角じょうぎは 2まい つかいます［6］。

1まいは、紙の 上で うごかない ように おさえます。もう 1まいを、その へりに そって すべらせて、線を ひきます［2］。

まんなかに あなが あいた じょうぎが 多いのは、あなから 空気が にげて、紙の 上で ずれにくく なるからだと いわれます［3］。

はしの 2ほんが そろって つかいやすい ように、三角じょうぎも 2まいで ひとそろいです。ただし、はしは おなじ 形で、三角じょうぎは ちがう 形です。

では、その 2まいは、どんな 形なのでしょう。

1枚を押さえ、もう1枚をすべらせる

小学校の算数で平行な線を引くときは、三角定規を2枚使い、1枚を押さえる側、もう1枚をずらす側にすると教えられています［6］。武蔵野美術大学の解説でも、2枚をしっかり固定し、一方を決まった向きに動かして線を引く手順が紹介されています［2］。

押さえた1枚の辺に沿ってもう1枚を動かすと、動かした定規の向きが変わりません。だから、動かす前と後に引いた線が平行になります。1枚だけだと、動かしたとき基準になる辺が残りません。

製図の机では、T定規の上をすべらせる

製図では、T定規と組み合わせて使われます。T定規の上に三角定規を置いて左右にすべらせると、垂直な線や決まった角度の線を引けます［4］。三角定規の中心に穴が開いているものが多いのは、紙との間に空気が残らないようにして、紙の上で固定しやすくするためだと説明されています［3］。

平行線は2枚でできることが分かりました。では、その2枚は、なぜあの角度なのでしょうか。

平行線を引くには、動かしている間も向きが変わらない基準が要る。三角定規1枚を紙の上で動かすと、基準にした辺も一緒に動いてしまう。そこで、小学校では2枚を使い、1枚を押さえる側、もう1枚をずらす側にして平行線を引くと教えられている［6］。武蔵野美術大学の資料も、2枚をしっかり固定して一方を動かし、線を引く手順を示している［2］。

押さえた辺に沿って動かすかぎり、動かす定規の向きは保たれる。このため、動かす前後の辺は平行になる。製図ではこの役を、T定規が担うことが多い。T定規の上に三角定規を置いてすべらせると、垂直線や決まった角度の線が引ける［4］。

三角定規の中心に穴があるものが多い。その理由は、紙との間に空気が残らないようにするためだと説明される。ただしこれはWikipediaの記述［3］なので、「多い」程度の強さで読むのがよい。

平行線の引き方は、2枚の関係で決まる。では、その2枚の角度は、なぜ今の組み合わせなのか。

1まいは、角が 90度・45度・45度の 三角形です。もう 1まいは、90度・60度・30度の 三角形です［1］。

45度の ほうは、正方形を ななめの 線で 半分に した 形です。60度と 30度の ほうは、正三角形を、てっぺんから まっすぐ 下へ 切って 半分に した 形です［5］。

正方形の 紙を ななめに おって みると、45度の 三角形と おなじ 形が 2まい できます。

どうして この 形に 決まったのかを 書いた 本は、読んだ 中には ありませんでした。

形を、もとの図形にもどす

三角定規の1枚は、角が90°・45°・45°の直角二等辺三角形、もう1枚は90°・60°・30°の三角形です［1］。

45°・45°・90°の三角形は、正方形を対角線で切った形です。30°・60°・90°の三角形は、正三角形を頂点から底辺へ垂直に切った形で、半正三角形とも呼ばれます［5］。辺の長さの比は、前者が1：1：√2、後者が1：√3：2になります［3］。

どうしてこの2つの形が選ばれたのかを述べた資料は、今回読んだ中にはありませんでした。ここまでは、形の事実として読むのがよさそうです。

この2枚には、辺の長さに、もう1つの特徴があります。

製図用の2枚のうち、1枚は90°・45°・45°の直角二等辺三角形、もう1枚は90°・60°・30°の三角形である［1］。前者は正方形を対角線で切った形、後者は正三角形を頂点から底辺へ垂直に切った形で、半正三角形とも呼ばれる［5］。

辺の比は、前者が1：1：√2、後者が1：√3：2である［3］。つまり2枚は、正方形と正三角形を半分にした形で、角度も30°・45°・60°・90°にまとまっている。

ただし、「半分の形だから採用された」と言える根拠は、今回読んだ資料にはない。形の事実と、設計の意図は分けて読む必要がある。

では、この2枚は、辺の長さの面でどう結びついているのか。

この 2まいには、しかけが あります。45度の 三角形の いちばん 長い へんと、60度と 30度の 三角形の 2ばんめに 長い へんが、おなじ 長さに なって います［3］。

この 長さを、三角じょうぎの サイズを あらわす めやすに すると いわれます［3］。

たとえば、この 長さが 30センチなら、45度の 三角形の みじかい へんは 21センチ ぐらいです。60度と 30度の 三角形の いちばん みじかい へんは、17センチ ぐらいに なります。これは けいさんで 出した 数です。

長さが そろって いれば、2まいの へんを ならべても、ぴったり かさなります。

斜辺と、長いほうの隣辺

直角二等辺三角形の斜辺と、30°・60°・90°の三角形で、90°と30°ではさまれた長いほうの辺は、長さが等しくなっています。Wikipediaによると、この長さが三角定規のサイズを表す目安になります［3］。30°・60°・90°の三角形の斜辺は、これよりもさらに長い別の辺なので、取りちがえないようにします。

数字にすると

この長さを30cmとして、辺の比から計算してみます。直角二等辺三角形の短い2辺は、30÷√2で約21.2cmです。30°・60°・90°の三角形では、いちばん短い辺が30÷√3で約17.3cm、斜辺はその2倍の約34.6cmになります。製図用の直角二等辺三角形は斜辺が24〜30cmほどのものが多い、と紹介されているので［3］、手もとの定規とも見比べやすい大きさです。

長さがそろっていれば、2枚の辺を重ねて並べることができます。では、並べると何が増えるのでしょうか。

直角二等辺三角形の斜辺（45°と45°の間にある辺）と、30°・60°・90°の三角形の長いほうの隣辺（90°と30°の間にある辺）は、長さが等しい。Wikipediaによると、この長さが三角定規のサイズを表す目安になる［3］。30°・60°・90°の三角形の斜辺は、これとは別のさらに長い辺であり、混同しないようにしたい。

比で確かめると、直角二等辺三角形の斜辺は短辺の√2倍（約1.41倍）、30°・60°・90°の三角形の長いほうの隣辺は最短辺の√3倍（約1.73倍）である。この2つを等しくおくと、30cmなら、前者の短辺は約21.2cm、後者の最短辺は約17.3cm、後者の斜辺は約34.6cmになる。これは辺の比からの計算であり、実際の製品の寸法を示すものではない。製図用の直角二等辺三角形は斜辺が24〜30cmほどで、目盛りがないものが多いと紹介されている［3］。

長さの基準が1つにそろっていると、サイズを1つの数字で言え、2枚の辺どうしをそのまま重ねられる。この重ねられることが、次の章の角度に関わってくる。

2まいを つかうと、よこと たての 線の ほかに、30度・45度・60度の ななめの 線も ひけます［2］。

さらに、角を たしたり ひいたり して みます。45から 30を ひくと 15度です。45に 30を たすと 75度です。60に 45を たすと 105度に なります。

2まいを いちばん 長い へんの ところで あわせると、15度や 75度が できると 書いた 本も あります［4］。

ただし、ほんとうに 線が ひける 角は、2まいの おきかた しだいです。

まず、1組でできる角

2枚を組み合わせると、水平・垂直の線のほかに、30°・45°・60°・90°を使った斜めの線が引けます［1］。

足し引きでできる角

2枚の角を足したり引いたりする計算を考えると、45−30=15、45+30=75、60+45=105、60−45=15と、新しい角が出てきます。英語版Wikipediaにも、斜辺どうしを合わせる組み方で15°と75°の角ができる、という説明があります［4］。

ただし、これは角度の計算です。実際に引ける角は、2枚をどの辺で合わせ、どの向きで置くかによります。計算で出た数を、そのまま「どんな角度でも引ける」とは読みません。

では、2枚の組み合わせで足りない角度は、どうしてきたのでしょうか。

2枚の角は、30°・45°・60°・90°である。これらを組み合わせると、水平・垂直線のほかに、これらの角を使った斜線が引ける［1］。ここに角の足し引きを加えると、45−30=15、45+30=75、60+45=105、60−45=15という計算ができる。英語の資料でも、2枚を斜辺どうしで組み合わせると、15°と75°の角ができると説明されている［4］。

注意したいのは、これが「2枚の角を足し引きすれば何でも引ける」ことを意味しない点だ。実際に線を引けるのは、2枚の辺を重ね、置く向きを決めたうえで、その辺が目的の角を作るときに限られる。たとえば、2枚の角の和や差が15°の倍数に集まるのは、30°・45°・60°・90°がどれも15°の倍数だからであり、このような角の足し引きでは、15°の倍数以外は出てこない。

では、そうした限界に対して、人はどんな道具を使ってきたのか。

むかしの 三角じょうぎは、いまと ちがって いました。めいじの はじめごろは「さんかくき」と よばれ、おもに 直角を みる ための ものだった ようです［1］。

直角の ほかの 角は、まちまちでした［1］。

どんな 角度でも ひきたい 人には、角度を かえられる どうぐが あります。2まいの 三角形を つないで、ぶんどきの 目もりが ついた 板に とめた ものです［1］。

ドイツ語を つかう 国の 学校では、45度の 三角形に、ものさしと ぶんどきの 目もりを あわせた どうぐも つかいます。1964ねんに 作られた ものです［4］。

「三角規」と呼ばれていたころ

三角定規は、明治時代の初めには「三角規」という名前で文献に出てきます。そのころは、おもに直角を見るための道具だったようです。直角以外の角は、まちまちでした［1］。今のような決まった2枚1組になるまでの経緯は、用語集には書かれていません。

角度を自由に変えられる道具

角度を自由に変えられる勾配定規は、分度器つきの目盛板で、動かせる2枚の三角形をつないだ道具です。三角定規だけでも角の組み合わせでいろいろな角度が作れますが、勾配定規なら任意の角度の線が引けます［1］。

ドイツ語圏の学校では、45°・45°・90°の三角形に定規と分度器の目盛りを合わせたゲオドライエック（Geodreieck）が使われています。1964年にドイツのメーカーが開発したものです。日本の三角定規とは別の方式で、起源の話ではありません［4］。

三角定規は明治時代の初めに「三角規」の名で文献に現れ、当時は主に直角を見ることが目的だったようだ。そのため、直角以外の角はまちまちだった［1］。当時の三角規は、直角を見ることが主な目的だったようだ。

2枚の角の組み合わせの限界に対しては、別の道具がある。勾配定規は、分度器つきの目盛板でつないだ、可動式の2枚の三角形からなり、任意の角度の線を引け、角度を測ることもできる［1］。

ドイツ語圏の学校のゲオドライエックは、45°・45°・90°の三角形に、定規と分度器の目盛りを合わせたもので、1964年にDennert & Pape Aristo-Werkeが開発した［4］。日本の三角定規が角度の組み合わせで多くを賄うのに対し、こちらは目盛りで任意の角度を読む方式である。ただし、これは別の方式の紹介にとどまり、日本の三角定規の起源とは関係がない。

うちに 三角じょうぎが 2まい あれば、ノートで ためせます。1まいを おさえて、もう 1まいを すべらせ、線を 3ぼん ひいて みましょう。

3ぼんは、ずっと おなじ はばで ならびましたか。

つぎに、2まいの いちばん 長い へんを ものさしで はかって みます。おなじ 長さか どうかが、わかります。

2枚あれば、ノートで試せる

手もとに三角定規が2枚あれば、ノートに平行な線を3本引いてみます。1枚を押さえ、もう1枚をすべらせて、線の間がどこでも同じ幅になるか、ものさしで測って確かめます。

次に、直角二等辺三角形の長い辺と、30°・60°・90°の三角形の90°と30°の間の辺を、定規で測ってみます。同じ長さに近いかどうかを見ます。製品によって細かい寸法のちがいがあるかもしれません。

もっと知りたくなったら

武蔵野美術大学の「造形ファイル」の用語集と、同大学の三角定規の解説資料には、勾配定規を含む種類や使い方が出ています。出典欄から読めます。

手もとの2枚で、2つのことを検算できる。1つめは平行線で、ノートに1枚を固定し、もう1枚をすべらせて3本引き、線の間隔を定規で測る。何か所か測って間隔が同じなら、平行になっているか確かめる手がかりになる。

2つめは辺の長さで、直角二等辺三角形の斜辺と、30°・60°・90°の三角形の90°と30°の間の辺を測り、等しいかを確かめる。2つの辺を測り、手もとの定規でどのくらい同じ長さに見えるか比べてみる。

原典にあたるなら、武蔵野美術大学の「造形ファイル」の用語集と解説PDFがある。出典欄から読める。