ある 小学校の 1年生の 教室の おはなしです。先生が 言いました。「公園に 男の子が 8人、女の子が 5人 います。男の子は 女の子より 何人 多いでしょう」［2］

多くの 子が「8−5＝3。3人 多い」と、ひき算で こたえました。ところが 一人の 子が 言いました。「だれも ぬけないのに、ひき算に なるのは おかしいよ」

よく 気が つきました。ひき算は「はじめの 数から とって、のこりを 出す」ものと おそわります。でも 公園からは、だれも 出て いきません。

先生は、この 子の ひとことを、教室みんなの 問題に しました。手がかりは、つぎの 場面に あります。

ある小学1年生の授業の記録です。先生が「公園に男の子が8人、女の子が5人います。男の子は女の子より何人多いでしょう」と問いました［2］。

多くの子は、8−5＝3とひき算で答えました。ところが1人が「誰も抜けないのに、ひき算になるのはおかしい」と納得しませんでした［2］。

ひき算を「持っている数から取り去って、残りを数える計算」と習った子にとって、この疑問は自然です。答えは合っているのに、どうして引いたことになるのでしょうか。女の子とペアになった男の子を取り去ると、残った人数が「ちがい」になるので、ひき算で表せます。先生は、この疑問を1人の子のものにせず、クラス全体で考える形に広げました［2］。

上越教育大学のサイトに載る事例によると、小学1年の授業で、公園に男の子8人・女の子5人がいる場面を示し、男の子が女の子より何人多いかを考えさせた。多くの児童が8−5＝3と答えたが、1人が「誰も抜けないのに、ひき算になるのはおかしい」と納得しなかった［2］。

この疑問が出るのは、減法を「取り去る」操作として理解しているからだ。求める量が「残り」ではなく「ちがい」なので、場面の中では何も減っていない。計算が合っていても、なぜ減法なのかは別の問題として残る。教師はこれを個人の誤解として扱わず、学級全体の課題に広げた［2］。なお、これは1つの授業の記録であり、どの学級でも同じ疑問が出るとは限らない。

先生は、こう 考えて みよう と 言いました。女の子 1人に、男の子 1人を ペアに します。ペアに なった 男の子は、公園から 出て いく ことに します［2］。

女の子は 5人ですから、5組の ペアが 出て いきます。のこるのは、男の子 3人です。この 3人が「女の子より 多い」人数です。

ここで、「8−5」の 5が 何かが はっきりしました。5は 女の子の 人数では ありません。女の子と ペアに なった 男の子の 人数だと 言えます。

もちろん、ほんとうに 男の子が 出て いく わけでは ありません。ペアを つくって、あまった ほうを 数える 見方です。

先生が示した考え方は、女の子とペアになった男の子が、公園から出ていくと考えることでした［2］。

女の子5人にそれぞれ男の子1人をペアにして外に出すと、公園に残るのは男の子3人です。この残った人数が、女の子より「多い」人数です。だからひき算で求められます［2］。

8−5の「5」は誰のことか

この話し合いで、はっきりしたことがあります。8−5の5は「女の子の人数」というより、「女の子とペアになった男の子の人数」だと言えます。

実際には誰も動きません。ペアにして消し、残りを見るのは頭の中の操作です。この見方が、「ちがい」を「残り」に変えてくれます。

授業では、女の子とペアになった男の子が公園から出ていくと考えることで、残った男の子が女の子より「多い」人数であり、したがってひき算で求められる、という理解に至った。ここで8−5の5は、「女の子の人数」というより、「女の子とペアになった男の子の人数」だと整理できる。

比べる2つの量を1対1に対応づけ、対応する分を同時に除くと、残りがちがいを表す。実際に除くわけではなく、「もし除いたら」という見方を使う点が、場面の中で何も減らないことと矛盾しない理由である。なお、この資料では、子どもが1人で正解にたどり着いたとは書かれておらず、教師が学級全体の考えとして整理している形だ［2］。

文部科学省もんぶかがくしょうの 手引きには、ひき算を つかう 場面が 3つ のって います［1］。

1つ目は「のこり」です。りんごが 8こ あって、3こ たべたら、のこりは いくつ？ 8−3＝5です。

2つ目は「ちがい」です。さっきの 男の子と 女の子のように、2つの 数の ちがいを 出す ときです。

3つ目は「じゅんばんの ちがい」です。れつに ならんで いて、前から 8番目の 子の 3人 前は、何番目でしょう。8−3＝5で、5番目です。

どれも 同じ ひき算の しきです。でも、場面の すがたは ちがいます。

文部科学省の小学校学習指導要領解説（算数編）は、減法が用いられる場合を3つ挙げています［1］。

のこり・ちがい・順番

1つ目は、はじめの数量から取り去ったり、減ったりしたときの残りを求める場合です。「りんごが8個あって、3個食べたら残りは何個」がこれです。

2つ目は、2つの数量の差を求める場合です。公園の男の子と女の子の人数のちがいは、こちらです。

3つ目は、ある順番から、いくつか前の順番を求める場合や、2つの順番の違いを求める場合です。列の前から8番目の子の3人前は、8−3＝5で5番目です［1］。

3つは見た目が違うのに、書く式は同じ「ひき算」です。1年生が引っかかったのは、2つ目の場面だったことになります。

平成20年版の学習指導要領解説（算数編）第1学年は、減法が用いられる場合として、(ア)はじめの数量から取り去ったり減少したりしたときの残りを求める場合（求残）、(イ)2つの数量の差を求める場合（求差）、(ウ)ある順番から幾つか前の順番を求める場合や2つの順番の違いを求める場合（順序数を含む減法）、の3つを挙げている［1］。

公園の事例が(イ)に当たる。順序数の場合は、列の前から8番目の3つ前を8−3＝5と求めるような例で、「何個」ではなく「何番目」という位置の関係を引き算で扱う点が、数量の減法と異なる。

本稿で読んだのは平成20年版の原文である。現行（平成29年告示）の解説の減法の項は原文を読んでいないので、現在の分け方が同じとは書かない。ただし、後で見るように、同資料は現行版に求残・求差を含む5つの項目があると指摘している［2］。

こんな 問題を 考えて みましょう。「りんごが いくつか ありました。5こ もらったら、12こに なりました。はじめは 何こ？」

「もらった」と あるので、足し算に 見えます。でも、5こ もらう 前の 数を 出したいのですから、12−5＝7と、ひき算で 出します［1］。

反対に、「りんごが いくつか ありました。5こ たべたら、7こ のこりました。はじめは 何こ？」は、「たべた」と ありますが、7＋5＝12と、足し算に なります［1］。

ことばだけで 足し算か ひき算かが きまる とは かぎりません。何が はじめで、何が 今なのかを 思いうかべて、考える ことが 大切です。

学習指導要領解説は、足し算とひき算の関係を理解させる場面として、次のような問題を挙げています［1］。

「はじめにリンゴが幾つかあって、5個もらったら12個になりました。はじめに幾つありましたか」。もらったのだから足し算に見えますが、求めたいのは「もらう前」の数なので、12−5＝7とひき算になります。

反対に「リンゴが幾つかあって、5個食べたら7個残りました」は、食べたという言葉があっても、はじめの数は7＋5と足し算で出します［1］。

12個から、いくつ食べたか

12個あったリンゴが、いくつか食べられて7個になった場合、食べた数は12−7で求められます。ひき算は、はじめと今の2つの数から、間の変化を出すことにも使われます［1］。

言葉に引っぱられず、場面の順番を頭に描くことが、式を決める手がかりになります。

同解説は、加法と減法の相互関係の指導の中で、数量関係の表現と計算が食い違う場合を挙げる。「リンゴが幾つかあって5個もらったら12個になった。はじめに幾つ」は、表現は加法の形だが計算は12−5の減法になる。「幾つかあって5個食べたら7個残った。はじめに幾つ」は、減法の形だが計算は7＋5の加法になる。また、12個から幾つか食べて7個になった場合は、12−7で減数を求める［1］。

これらは「逆思考」と呼ばれる型である。問題文の動詞（もらう・食べる）と演算が一致しないので、言葉だけで式を決めようとすると誤る。そこで解説は、加法・減法を、どの場合にも同じ演算が適用できる場として理解することが大切だと述べる。減法は、1つの集合を2つに分けたときの一方の個数を求める演算だとも述べられている［1］。

集合を2つに分けるという見方に立てば、「全体」「一方」「もう一方」のうち、分かっている2つから残りの1つを出すのが減法で、場面の動詞は計算の種類を決めない。この見方は、次の章の問いにつながる。

ここまでの 話を 聞いて、ひとつ 気に なりませんか。ひき算には、「のこり」と「ちがい」と「じゅんばん」と、いろいろな 場面が ありました。ひき算の 意味は、いくつ あるのでしょう。

ある 本では、こんな 考えが 出されて います。意味は「のこり」の ひとつと して、ほかの 場面は、見方を かえて「のこり」と とらえなおす と、同じ ひき算が つかえると 考える やり方です［2］。公園の ペアの 話が、まさに その 見方でした。

全部と 一部が 分かって いて、ほかの 一部を 出す ときも あります。クッキーが 全部で 12まい。そのうち 7まいは チョコ味。ほかは 何まい？ 12−7＝5です［3］。

見方は ひとつに きまった わけでは ありません。どれが よいかは、考える 人に よって ちがう ことが あります。

「ひき算の意味はいくつあるのか」という問いに、1つの資料が整理を試みています。上越教育大学のサイトに載る文章は、平成29年告示の解説に求残・求差を含めて5つの項目があり、それは「意味」ではなく「減法が用いられる場合」とされている、と指摘します［2］。

そのうえでこの資料は、ひき算の意味を求残（残りを求める）の1つとし、ほかの場面は見方を変えて求残として捉え直すことで、ひき算が「適用できる」と考えてもよいのではないか、と提案します［2］。公園の「ペアを作って出ていく」見方は、まさにこの捉え直しです。

全体と一部から、他の一部を出す

教材会社の用語集には、全体とその一部分が分かっていて、他の部分を求める場合を「求部分」と呼ぶ説明があります。操作は残りを求める場合と似ている、とされています［3］。12枚のクッキーのうち7枚がチョコ味なら、他の枚数は12−7です。

これはあくまで1つの提案で、決まった答えではありません。見方を1つにそろえるほうが分かりやすい子もいれば、場面ごとに分けて覚えるほうが分かりやすい子もいるでしょう。

上越教育大学サイト掲載の論考は、平成29年告示の解説では求残・求差を含め5つの項目が挙げられているが、それらは「意味」ではなく「減法が用いられる場合」とされている点に注目する。そこで、減法の意味を求残の1つとし、他の場面は見方を変えて求残として捉え直すことで、減法が「適用できる」と考えてはどうか、と提案する［2］。

この立場に立てば、求差は「対応づけで残りを見る」、順序数は「基準から取り去った残りの位置を見る」と読み直せる。公園の授業で教師が導いた「ペアになった男の子が出ていく」見方は、この読み直しの具体例になる。

一方、教材会社の用語集は、全体と一部が分かっていて他の部分を求める場合を「求部分（求補）」と呼び、操作は求残と似ていると説明する［3］。この語は平成20年版の解説の減法の項には出てこず［1］、教科書や教材によって扱いが異なる語であることに注意したい。分類名の数が増えること自体が、「意味」の分け方に定説がないことの表れとも読める。

ひき算の しきに 出てくる「−」の しるしは、いつから あるのでしょう。

「＋」と「−」が 印刷いんさつされた 本に はじめて 出て くるのは、1489年に、いまの ドイツに ある ライプツィヒで 出た 本と いわれます。書いた 人は ウィドマンです。商売の 計算の 本でした［4］。

ところが、その 本では、「＋」と「−」は 足し算と ひき算の しるしでは ありませんでした。商売の 問題で、「多すぎる」と「たりない」を あらわす しるしとして つかわれて いました［4］。

では、どうして「−」の かたちに なったのでしょう。じつは、それは はっきり わかって いません［5］。たしかな ことは、「−」が はじめは ひき算では なかった という ことです。

ひき算の式に出てくる「−」は、いつ、どこで生まれたのでしょうか。

「＋」と「−」の記号が印刷物に最初に現れたのは、1489年にライプツィヒで出版された、ヨハネス・ウィドマンの商業算術の本とされています［4］。ところが、そこでの意味は足し算・引き算ではありませんでした。商売の問題で「過剰」と「不足」を示すための記号だった、と数学史の資料は説明します［4］。

由来は、はっきりしない

では、なぜ短い横線が「足りない」を表したのでしょうか。これについては、「誰も確かには知らないようだ」と、英語圏の語源サイトは書いています［5］。数学史の資料も、古代ギリシャの数学者にさかのぼろうとする試みはあるが、根拠は示されていないとします［4］。

樽の目印の線から来たという話などもありますが、確かな証拠は見つかっていません［5］。毎日使う記号にも、由来が分かっていないものがあります。

「＋」「−」が印刷物に現れた最初の例は、1489年にライプツィヒで出版されたヨハネス・ウィドマンの商業算術書とされる［4］。ただし、そこでの用法は加減の記号ではなく、商売の問題における過剰（surplus）と不足（deficit）の記号だった［4］［5］。ウィドマンは、日本語の表記では「ヴィトマン」などと揺れる。

加減の記号としての使用が、その後どのように広がったのかは、ここで読んだ資料の範囲を超える。

「−」の形の由来は、よく分かっていない。World Wide Wordsは「誰も確かには知らないようだ」と述べ［5］、MacTutorの記述も、古代ギリシャのヘロンやディオファントスまでさかのぼる試みがあるものの根拠は示されていない、と紹介する［4］。ラテン語の「minus」の略とする説や、樽に引いた線とする説もあるが、いずれも断定はできない［5］。

この記号に「足りない」という意味から入った歴史があることは、ひき算を「取り去る」ことに限らず、「基準に対する不足・ずれ」を表す演算として見る見方とも、つながって読める。ただしこれは、本稿の読み方であり、資料がそう述べているわけではない。

やってみよう。家に ある ものを 2しゅるい、同じ 数ずつ ならべます。おかしと コップなど、なんでも かまいません。

おかしを 7こ、コップを 4こ ならべて、コップの 前に おかしを 1こずつ おきます。ペアに ならなかった おかしを 数えると、3こ。多いほうの ものを 数えると、ちがいが わかります。「おかしが 3こ 多い」が、7−4＝3と 重なります。

つぎは、「のこり」「ちがい」「じゅんばん」「もとの 数」のうち、どれが 出て くる 問題かを、自分で つくって みましょう。家の 人に 出題するのも、おもしろいです。

「−」の しるしの ひみつを、もっと 知りたく なったら、学校の 図書室で、算数の れきしの 本を さがして みるのも いいですね。

家にあるものでできる確かめ方を2つ書きます。

ペアを作って、余りを数える

お菓子とコップなど、2種類のものを家にあるだけ並べます。コップの前にお菓子を1個ずつ置きます。ペアにならなかったものを、どちら側も数えます。その数が2種類の数のちがいです。式で書くと、お菓子の数−コップの数です。

問題を自分で作る

「残り」「ちがい」「順番」「もとの数」のうち、どれが出てくる問題かを決めて、短い問題を1つ作ってみてください。同じ式でも、場面が変わると問題の顔つきが変わることが分かります。

「−」記号の由来に興味が出たら、算数の歴史の本や、学習指導要領解説の減法の項を読むと、続きが見つかります。

確かめ方を2つ挙げる。

(1)身近なものの個数を2種類数え、1対1に対応づけて余りを数え、その数と減法の結果を比べる。求差の場面を、残りに見直す操作そのものになる。

(2)「残り」「ちがい」「順番」「もとにもどす」のうち1つを決めて文章題を作り、友人や家族に解いてもらう。解いた人が、式を立てるときに動詞（もらう・食べる）に引っ張られるかどうかを観察すると、第4章の「逆思考」が実際の場面でどう働くかが分かる。

読む資料としては、文部科学省の学習指導要領解説（算数編）の減法・加法と減法の相互関係の項と、上越教育大学サイトの「演算の意味か適用か？」が、本稿の中心である［1］［2］。「−」記号の由来は、MacTutorのMillerの記事が出発点になる［4］。