夏の はじめ、町の みせで アイスが よく うれる ひを 思いうかべて ください。その ひは、エアコンも よく うれると いわれます。

アイスと エアコンは、おたがいが げんいんで うれるとは かぎりません。夏に向かって きおんが 上がる ことが どちらにも えいきょうして いる かのうせいが 高いと、アメリカの 教科書は せつめい して います。

つまり、あつさが ふたつの 売上を いっしょに 引っぱって いるのかも しれません。

こういう、ふたつの ものが いっしょに ふえたり へったり することを、「そうかん」と いいます。そうかんが あっても、どちらかが どちらかの 「げんいん」とは かぎりません。

夏が近づいて気温が上がると、アイスクリームの売上が増えます。同じころ、エアコンの売上も増えます。グラフにすれば、二つの線は同じように右上がりになるはずです。

統計局の子ども向けの資料は、気温とアイスの売上のように、二つのデータの変化の傾向が似ていることを「相関関係」と呼んでいます［1］。アイスとエアコンの売上も、この意味で相関があります。

ところが、アメリカの数学の教科書は、アイスとエアコンの売上が一緒に増えるのは、どちらも「夏に向かって気温が上がること」という第三の要因に引き起こされている可能性が高い、と説明します［3］。アイスを食べてもエアコンは売れず、エアコンが売れてもアイスは売れないでしょう。二つの外側にある暑さが、両方を動かしている可能性が高いと考えられます。

この「第三の要因」を見落とすと、何が起きるのでしょうか。

気温が上がる時期には、アイスクリームの売上もエアコンの売上も増える。二つの系列は同じ向きに動くので、グラフに描けば似た形になる。統計局の資料は、このように二つのデータの変化の傾向が似ている関係を「相関関係」と呼ぶ［1］。

しかし、相関があることは、片方がもう片方の原因であることを意味しない。OpenStax の代数の教科書は、アイスとエアコンの売上が同時に増えるのは、夏に向かって気温が上がるという第三の要因が両方を引き起こしている可能性が高い、と述べる（原文は「likely」で、断定ではない）［3］。同じ OpenStax の心理学の教科書も、アイスの売上と別の出来事が同時に増える例で、両方が外の気温と関係している可能性のほうがはるかに高いと説明している［4］。

二つの変数のあいだに矢印を引くのではなく、二つの背後にある共通の原因を探す、という発想である。では、この「第三の要因」がある場合、データだけからそれを見抜けるのか。その前に、相関の強さをどう数字にするのかを見る。

「いっしょに うごく」ぐあいは、すうじに できます。「そうかんけいすう」と いいます。

この すうじは、-1から +1までの あいだの 数です。1か -1に 近い ほど、つよく いっしょに うごいて います。0に 近いと、ほとんど いっしょには うごきません。

たとえば、おたがいに かんけいが ない ものは、「むそうかん」と いいます。くじの ばんごうと テストの てんすうを ならべても、いっしょに うごくようには 見えません。

ただし、すうじが 大きくても、げんいんが わかった ことには なりません。統計とうけいの 資料しりょうも、そうかんけいすうが 大きいからといって、げんいんと けっかの かんけいが あるとは かぎらない、と 書いて います。

二つのデータが「どのくらい」一緒に動くかは、相関係数という数字で表します。値は-1から+1の間にあり、絶対値が1に近いほど強い相関、0に近いほど弱い相関とされます［2］。

プラスの値は、片方が増えるともう片方も増える向き。マイナスの値は、片方が増えるともう片方が減る向きです。たとえば、二つのデータにまったく関係がないときは「無相関」と呼ばれます［1］。出席番号とテストの点数を並べたようなものがそうでしょう（これは、ここで考えた例です）。

大事なのはその先です。統計局のデータ・スタートは、相関係数の値が大きいからといって、二つの変数に因果関係があるわけではない、と書いています［2］。相関関係と因果関係は全く異なる概念だ、という注意も添えられています。

相関係数が大きければ原因だと言えないとしたら、数字そのものに、ほかにも落とし穴があるのでしょうか。

相関の強さを一つの数字にしたものが相関係数で、-1から+1の値をとる。絶対値が1に近いほど強い相関、0に近いほど弱い相関である［2］。符号は向きを表し、プラスなら一方が増えるときにもう一方も増え、マイナスなら一方が増えるときにもう一方は減る。関係がないデータは「無相関」と呼ばれる［1］。

この数字が1に近くても、因果関係は保証されない。データ・スタートは、相関係数の値が大きいからといって二つの変数に因果関係があるわけではなく、相関関係と因果関係は全く異なる概念だと注意している［2］。前章のアイスとエアコンは、相関係数が高く出そうなのに、因果の矢印はない例である。

では、相関係数そのものは、いつも信頼できるのか。次の章では、数字がデータの取り方で動く場面を見る。

ぐうぜん、なにも かんけいの ない ものどうしでも、すうじが 大きく 出る ことが あります。「みせかけの そうかん」と いわれます。

さらに、ひとつだけ とびぬけた すうじが まざって いると、全体の すうじが 見かけより 高く なる ことも あります。

ですから、すうじだけを 見て 「おなじように うごいて いる」と 決めずに、点を 地図のように ならべた ずを 見ることが たいせつです。

数字は、偶然にも高くなることがあります。統計局の解説は、全く関係のない変量を並べても、偶然に関係があるかのような相関係数が出てしまうことがある、と述べます［5］。これを「見せかけの相関」と呼びます。

ひとつだけ極端な点が混ざっても、数字は動きます。スペインのバレンシア大学の講義資料には、IBMという一社が極端にはずれた例があり、それを含めると相関係数は0.68でしたが、IBMを除くと0.48に下がりました。資料は、0.68を見せかけのように高い値だと述べています［7］。

また、データを一部の範囲だけに絞っても数字は変わります。同じ資料では、馬力が100未満の車だけに絞ると、体重と馬力の相関が0.92から0.71に下がっています［7］。

だから、数字だけで「関係が強い」と決めてはいけません。点を平面に並べた散布図を見て、一点だけ離れていないか、どの範囲を見ているのかを確かめます。

では、相関係数が0のとき、本当に何も関係はないのでしょうか。

相関係数は、偶然に動くことがある。統計局の解説は、全く関係性のない変量を並べても、偶然に関係があるような相関係数が出ることがあるとして、これを「見せかけの相関」と呼ぶ［5］。ほかにも、データの取り方で値が変わる例が、バレンシア大学の ViSta という統計教材に示されている［7］。

一つめは外れ値である。IBM という一社が極端にはずれた例では、それを含めた相関係数は0.68と、教材が「見せかけに高い」と書く値だった。IBM を除くと0.48になる［7］。0.68から0.48へ、0.20も下がる。一点が全体の数字を大きく引き上げていたことになる。

二つめは範囲の制限である。体重と馬力の例では、馬力が100未満の車だけに絞ると、相関が0.92から0.71に下がった［7］。範囲を狭めると散布図の点の並び方が変わり、相関係数も下がったのである。

これらは、相関係数だけを見て判断しない理由になる。散布図を描き、外れた点や、見ている範囲を確認する必要がある。では、相関係数が0なら、関係はないといえるのか。

そうかんけいすうは、まっすぐな せんの かんけいを はかる すうじです。

だから、すうじが 0でも、点が まるい 形や カーブに ならんで いる ことが あります。0は「かんけいが ない」と いう いみとは かぎりません。

ここでも、点を ならべた ずを 見る ことが 役に 立ちます。

相関係数は、直線のような関係を測る尺度です。そのため、二つの変数の関係が直線ではないとき、その強さを適切に測ることはできません［2］。

統計局の解説には、散布図の点が曲線のように並んでいるのに、計算すると相関係数が0になる例が示されています［5］。数字だけを見ると「関係なし」に見えるのに、図を見ると、はっきりしたパターンがあるのです。

ここまでで、相関は便利な手がかりであり、因果の証拠そのものではないことが分かりました。では、原因に近づくには、どうすればよいのでしょうか。

相関係数は、直線状の関係を測る尺度である。二つの変数の関係が直線状でなければ、その強さを適切に測ることはできない［2］。

統計局の解説には、散布図の点がある曲線に沿って並んでいても、計算した相関係数が0になる例がある［5］。つまり、相関係数が0であることは、無関係であることの証拠にならない。

ここまでに見た相関係数の限界は、偶然や外れ値、範囲の取り方で数字が動くこと、直線以外の関係を見落とすこと、そして因果とは別であることだ。これらが示すのは、数字は出発点であって、結論ではないということだ。では、原因に近づく方法は何か。

むかし、1854ねんの ロンドンで、ある びょうきが 町で ひろまりました。ジョン・スノーと いう 人が、びょうきに なった 人の いえを ちずに しるし、水を くむ ポンプの ばしょと くらべました。

すると、ある ポンプの まわりに 多く あつまって いました。スノーは、よごれた 水が げんいんでは ないかと 考えました。

数字を ならべるだけでは なく、ちずに のせて くらべたことで、げんいんの 手がかりが 見つかった お話です。

1854年のロンドンで、コレラという病気が広がりました。医師のジョン・スノーは、患者のいた家を地図に記し、水道のポンプの位置と重ねて比べました。アメリカのCDCの教材は、患者のいる家が、ブロード・ストリートのポンプ（Pump A）の周りに集まっていたことに、スノーが気づいたと書いています［6］。

スノーはこの分布から、汚染された水が原因ではないかと推測しました［6］。患者の数と別の数字をただ並べて相関を見るのではなく、患者の家とポンプの位置を地図で重ねて見たことが、原因を考える手がかりになったのです。

一つの例ですが、相関から原因に近づくには、数字の外にある条件や場所、時間を調べることが役に立つ、と分かります。

1854年のロンドンのコレラ流行で、ジョン・スノーは患者のいる家を地図に記し、水道ポンプの位置と比較した。CDCの疫学の教材によれば、患者の家は Broad Street のポンプ（Pump A）の周りに集まっていた［6］。スノーはこの分布から、汚染された水が原因ではないかと推測した。

ここで重要なのは、患者数と別の数字の相関を計算したのではなく、場所という情報を加えて、患者がどのポンプの周りに集まっているかを見た点である。数字の外にある要因を疑い、地図で手がかりを探す手順は、アイスとエアコンの例で気温を考えたこととつながっている。

ただし、この資料が述べているのは「推測した」というところまでで、数字を一つ見ただけで原因が決まったわけではない。相関は手がかりであり、因果の確認には、条件や場所、時間といった別の角度からの検討が加わる。

きょう できる こと

一しゅうかん、まいにち 天気よほうで その日の 一ばん 高い きおんを しらべて、メモします。同じ ひに、家で 飲んだ つめたい 飲みものの 数も かきます。

よこに きおん、たてに 飲みものの 数を とって、点を うって みましょう。点が 右上がりに ならぶか、ばらばらかを 見ます。もし ならんでも、「きおんが 上がったから」なのか、ほかの わけも あるのかを、家の 人と 話して みて ください。

一週間のメモで確かめる

毎日、住んでいる地域の天気予報で最高気温を調べて、メモします。同じ日に、家で飲んだ冷たい飲み物の数も書きます。横軸に気温、縦軸に飲み物の数をとって、点を打ってみましょう。

点が右上がりに並べば、プラスの相関があるように見えます。ただし七つの点だけでは、偶然の影響もあります。点が増えても、別の要因がないか確かめる必要があります。並んだとしても、気温のほかに、運動した日や家族の予定など、別の要因が飲み物の数に関わっているかもしれません。

資料を読むなら

統計局のなるほど統計学園の「2つのデータの関係」［1］は、日本語で、散布図の見方をやさしく説明しています。

手元のデータで試す

一週間、毎日の最高気温（住んでいる地域の天気予報で確認する）と、家で飲んだ冷たい飲み物の数を記録し、横軸を気温、縦軸を飲み物の数にした散布図を描く。点が右上がりに並ぶか、外れた点はないかを確かめる。七点だけでは偶然の影響も大きく、並び方がどうであれ、因果の結論にはならない。さらに、運動したかどうかも毎日記録し、運動した日としなかった日で気温と飲み物の関係が変わるかを比べると、第三の要因の見方が練習できる。

資料を読むなら

相関と因果の定義、相関係数の説明は、統計局の「Data StaRt」［2］に日本語でまとまっている。散布図が曲線に並ぶ例は統計局の解説［5］にある。外れ値と範囲の制限の例は ViSta の教材［7］（英語）、疫学の初歩の教材は CDC のもの［6］（英語）が読める。