夜空の 月は、じっと して いるように 見えます。でも 本当は、地球の まわりを やく 27日で 1しゅう して います。いそぐ 道では ありませんが、1びょうに やく 1キロも すすんで います［1］。

もし 地球の 引力が なければ、月は まっすぐ とおくへ とんで いきます。引力が 月を ひっぱり つづけて いるので、まっすぐな 道から すこしずつ ずれて、丸い 道を まわります。この「ずれる」ことを、ここでは「落ちる」と よびます。

ただし、地球に 近づく わけでは ありません。落ちる 分だけ、月は よこに すすんで、ぶつからないのです。

秒速約1キロで進む月

夜空の月は止まっているように見えますが、地球のまわりを約27.3日で1周しています。軌道の平均の速さは秒速約1.022キロメートル、地球までの平均距離は約38万4400キロメートルです［1］。

ここでの「落ちる」の意味

もし地球の引力がなければ、月は進んでいる向きにまっすぐ飛んでいくはずです。実際には引力が月を引き続け、まっすぐな道から地球のほうへ少しずつそれるので、円に近い道をたどります。この「それる」ことを「落ちる」と呼びます。

注意したいのは、月が地球に近づくわけではないことです。1秒に約1.4ミリというのは、直線からのずれの量で、距離が縮む量ではありません［4］。月は落ちながら横にも進み続けているので、落ちた分だけ前へ進み、地球にぶつからずに回り続けるのです。

月の公転は、平均軌道速度が約1.022km/s、軌道長半径が約384400km、恒星月が約655.7時間（約27.3日）である［1］。月が地球の引力を受けなければ、慣性の法則により接線方向へ等速直線運動を続ける。実際には引力が常に地球の向きに働き、直線から曲がる。この「直線からのずれ」を、ここでは「落下」と呼ぶ。

では、そのずれはどれだけか。注意すべきは、これが「月が地球へ近づく量」ではない点だ。月の軌道はほぼ円で、平均距離は保たれている。1.4mmは、直線運動を基準にしたずれであり、地球との距離の変化ではない［4］。

月は 1びょうに、やく 1キロ すすみます。まっすぐ すすむと すると、地球から ちょっと だけ とおく なる はずです。その とおく なる 分を、引力が ひっぱり もどして います。その 長さが、1びょうで やく 1.4ミリです。

1.4ミリは、0.5ミリの シャープペンの しんを 3本 ならべた くらいの 長さです。1キロ すすむ あいだに、これだけしか ずれません。とても 小さな ずれですが、これが まいびょう つづくので、月は 丸く まわります。

手で ひもつきの ボールを まわして みましょう。手を はなすと、ボールは まっすぐ とんで いきます。ひもが ひっぱって いる あいだは、ボールは 手の まわりを まわります。月の ひもの かわりが、引力です。ただし 本当は、月には ひもは ありません。

電卓でも出せる計算

円を回る物体は、円の中心へ向かう加速度をもちます。その大きさは、速さの2乗を半径で割った値です。月なら、(1.022キロメートル/秒)²÷384400キロメートルで、約0.00272メートル毎秒毎秒になります［1］。

物体が落ちる距離は、加速度の半分に時間の2乗を掛けたものです。1秒なら、0.00272の半分で約0.00136メートル、つまり約1.4ミリです。この値は、月の平均の道を円とみなした概算で、NASAの月のデータからの自己計算ですが、大学の講義資料にも同じ約1.4ミリが載っています［4］。

直線なら、どれだけ離れるはずか

同じ数字は、別の見方でも出てきます。月が1秒間まっすぐ進むと、ピタゴラスの定理で計算して、地球からの距離は約1.4ミリ増えます。引力は、その増える分を毎秒引き戻していることになります。月が地球から離れも近づきもしないのは、この2つが釣り合っているからです。

1.4ミリは、0.5ミリのシャープペンの芯を3本並べたくらいです。小さなずれが毎秒続くことで、月は円に近い道を回ります。

円軌道上の物体の向心加速度は a＝v²/r である。v＝1.022km/s、r＝384400kmを代入すると、a＝1.0445÷384400≒2.72×10⁻⁶km/s²、すなわち約0.00272m/s²となる［1］。初速0の等加速度運動では、t秒の落下距離は ½at² なので、t＝1秒なら a/2 ≒ 0.00136m、約1.4mmだ。これは月の平均軌道を円とみなした概算で、NASAの月のデータからの自己計算だ。同じ値は大学の講義資料でも s＝v²/2r として示されている［4］。

この1.4mmには別の意味もある。月がある1秒間、引力なしで接線方向へ進むと、地球からの距離は √(r²＋v²)−r ≒ v²/2r だけ増える。これも約1.36mmで、a/2と一致する。軌道が保たれるのは、引力による落下が、直線運動で離れる量とつり合うからだ。

1.4mmは、0.5mmのシャープペンシルの芯3本分ほどにすぎない。それでも、月が1秒に進む約1kmとの比は約10⁻⁶で、毎秒この小さなずれが積み重なり、軌道という曲線になる。

地面の 近くで、リンゴは 1びょうに やく 4.9メートル 落ちます。4.9メートルは 4900ミリです。月の 落ちる 長さ 1.4ミリで わると、およそ 3600に なります［2］。

ここで 月までの きょりを 見ます。月は、地球の 大きさの やく 60ばい も はなれて います。60に 60を かけると、3600です［3］。

引力が きょりの 2じょうに はんぴれいするなら、60ばい 遠い 月では、引力は 60×60＝3600分の1に なります。さっきの 3600と ほぼ あいます。リンゴを 落とす 力と、月を まわす 力は、同じ 引力だと 考えて よさそうです。

ニュートンは 1666年ごろ、お母さんの 家の 庭で、リンゴを 落とす 力は 月まで とどくのでは、と 考えたと つたえられます［3］。リンゴが 頭に 当たった という 話は、作り話の 部分だと いわれます。

リンゴは1秒で約4.9メートル

地表の平均の重力加速度は約9.82メートル毎秒毎秒です［2］。リンゴを落とすと、1秒で約4.9メートル落ちます（9.82の半分）。月の1.4ミリで割ると、約3600になります。月の落ち方は、地表の約3600分の1です。

3600は、60の2乗

地球の平均半径は約6371キロメートルです［2］。月までの平均距離384400キロメートルを割ると約60.3倍、およそ60倍です。引力が距離の2乗に反比例するなら、60倍遠い月での引力は、地表の60²＝3600分の1になります［3］。

落ち方の比（約3600）と、距離から予想される引力の比（60²）は、ほぼ同じです。月を回す力とリンゴを落とす力が、同じ引力であることを示す検算です。60倍は平均距離の概算で、月の軌道は楕円なので、距離はひと月のうちに変わります。

庭で考えた、という記録

ニュートンは1666年ごろ、故郷リンカンシャーの母の家で、庭で考えているうちに、リンゴを落とす引力が月にまで届くのではと思いついたと伝えられます。この話は後年の人（コンデュイット）の記録に出てきます［3］。リンゴが頭に当たったという部分は作り話とされ、記録は「庭で考えた」までです。

地表の平均重力加速度は9.82m/s²で、物体は1秒で約4.9m落ちる［2］。4.9m÷1.36mm＝4910÷1.36≒3600である。一方、地球の平均半径は6371kmなので、月までの平均距離との比は 384400÷6371≒60.3 だ［2］。

では、この3600は偶然か。引力が距離の2乗に反比例するなら、60倍遠い月での引力は 1/60²＝1/3600 になる。60.3²≒3636なので、実測の比約3600とは1％ほどの差で一致する。NASAの教育サイトも、同じ検算を「ニュートンの月のテスト」として紹介している［3］。

ただし、60は平均距離の概算である。月の軌道は楕円で、近地点と遠地点では距離が変わり、検算の細かい数字もそれに応じて動く［2］。また、この一致は、「引力の強さは距離の2乗に反比例する」という仮定が、地表と月という2点で整合した、という意味にとどまる。

ニュートンがこの考えを得た場面は、後年の記録によるとされる。コンデュイットの記録では、1666年に彼はケンブリッジを離れて母のいるリンカンシャーに戻り、庭で考えているうちに、リンゴを地面に引く重力が月にも及ぶのではと思いついた［3］。リンゴが頭に当たったという話は、記録にない部分である。

どうして 月は 地球に ぶつからないので しょう。それは、月が 落ちながら、よこにも すごい はやさで すすんで いるからです。

ニュートンは、高い 山の 上から 石を よこへ なげる ところを 考えました。ゆっくり なげると、石は すぐ 地面に 落ちます。もっと はやく なげると、石は とおくに 落ちます。さらに はやく なげると、石は 地球の まわりを 1しゅうして、山の 上に もどって きます［7］。

月は、ちょうど そんな 石に にて います。ただし、ニュートンが 月を 石に たとえて 書いた わけでは ありません。月に あてはめるのは、今の 人の かんがえ かたです。

国さいうちゅうステーション（ISS）は、地上から やく 400キロの ところを、1びょうに やく 8キロで とんで います。90分で 1しゅう、1日に 16しゅうです［8］。月より ずっと はやいのは、地球に 近くて 引力が 強いので、おちかたも 大きい からです。

山の上から石を投げる

ニュートンは、高い山の頂上から石を水平に投げる様子を考えました。投げる速さが足りなければ、石は地面に落ちます。速さを上げるほど遠くへ落ちます。ちょうどよい速さなら、石は落ち続けながら地球を回り、山の頂上に戻ってきます。それより速く、地球から飛び去ってしまう速さには届かないなら、道は楕円になります［7］。

この話は、ニュートンの死後、1728年に出た『世界の体系』に載っています［7］。ただし、ニュートン自身が月を砲弾にたとえたわけではありません。月にあてはめるのは、現代の説明です。

近いほど速く、遠いほどゆっくり

国際宇宙ステーション（ISS）は、秒速約5マイル（約8キロメートル）で飛び、1日に16周します［8］。月の秒速約1キロメートルよりずっと速い飛び方です。ISSは地球に近く、引力が強い場所を回るので、同じように落ちながら回るには、大きな速さが要ります。月は遠くて引力が弱いので、ゆっくりでも回り続けられます。

ここで、落下しているのに近づかない条件が問題になる。ニュートンの思考実験（死後の1728年刊『世界の体系』所収）は、高い山から石を水平に撃つ。速さが不足なら地面に落ち、軌道速度ならほぼ円を描いて山に戻る。それを超え、脱出速度に届かない速さなら楕円になる［7］。月は、地球へ落下しながら、地球の丸みの分だけ横へ進み、落下と横移動が釣り合って軌道を保つ。なお、ニュートン自身が月を砲弾にたとえたわけではなく、月への適用は現代の説明である［7］。

ISSと比べると、落ち方の違いが見える。ISSは秒速約5マイル（約8km）で、1日に16周する［8］。月の約1km/sよりはるかに速いが、地球に近く、引力が強い。低い軌道ほど、同じ落ち方を保つのに大きな速さが要る。月は遠く、引力が弱いので、約1km/sの速さで足りる。

軌道が決まる条件の細部は、人工衛星や無重力を扱う別の記事で説明している。ここでは、月に絞って、落下量と速さが対応していることだけを押さえる。

ニュートンは、1666年ごろ 月の まわる 時間を 計算で 出して みました。本当の 時間と くらべると、ずれは 16パーセント いないでした。地球の 大きさの 新しい 数字を 使った 1680年ごろには、ずれは 1.6パーセント いないに なりました［5］。

はじめから ぴったり では なかったの です。でも 地球の 数字が よく なる たびに、リンゴと 月の 引力が 同じと いう 考えは、少しずつ 強く なって いきました。

その 後 1687年に、ニュートンは 『プリンキピア』と いう 本で、この 考えを まとめました［6］。ところで 月は 今も、1年に やく 3.8センチずつ 地球から とおざかって います［1］。それでも 月は 落ち つづけて います。とおざかる わけは、また こんど。

16％から1.6％へ

ニュートンは1666年ごろ、この考えを月の公転周期の計算で試しました。結果は、わかっている値の16％以内でした。1680年ごろ、地球の大きさの新しい値を使うと、1.6％以内まで近づきました［5］。最初から完全に合ったわけではなく、数字を直しながら、同じ引力という考えが支えられていったことが分かります。

『プリンキピア』へ

ニュートンは、1666年ごろの考えを、1687年の『プリンキピア』で整理しました。月が地球半径の約60倍の距離にあることから、月の落ち方は地表の1/60²になるはず、という形で出てきます［6］。

遠ざかる月と、落ち続ける月

月は今、地球から年に約3.8センチずつ遠ざかっています［1］。それでも月は落ち続けています。遠ざかる理由は、潮の満ち引きが関わるとされ、別の記事で詳しく扱っています。

この検算は、どの程度の精度だったのか。ニュートンが1666年ごろに行った月の公転周期の計算は、既知の値の16％以内で一致した。1680年ごろ、地球の大きさの新しい値を用いると、1.6％以内に改善した［5］。地球の大きさの新しい値を使うと、検算の精度が上がったことになる。

このやり方は、1687年の『プリンキピア』に整理された。地球半径の約60倍の距離にある月は、地表の自由落下距離の1/60²だけ落ちるはず、という形である［6］。

なお、月は今、年約3.8cmの割合で地球から遠ざかっている［1］。この遠ざかりと、落下し続けて軌道を保つことは矛盾しない。3.8cmは38万km余りに対して約10⁻¹⁰であり、1秒の落下計算に影響する大きさではない。遠ざかる原因は潮汐とされ、別の記事で扱っている。

ボールを 2つ 用意します。広い 場所で、人や 物に 向けないように して ください。

1つは 手から そっと はなして 落とし、もう 1つは 同じ 高さから よこへ 強く なげます。2つが 地面に ついた 音を 聞いて みましょう。ほとんど 同じ ときに 聞こえるはずです。よこに 動いても、落ちる はやさは かわりません。

夜に 月が 見えたら、今 この ときも 落ちて いるのだと 思い出して みましょう。1びょうで 1.4ミリ。とても 小さな 落ち方が、ずっと つづいて います。

電卓があれば、検算を自分で確かめられます。384400÷6371で約60、60×60で3600、4.9÷3600で約0.00136（メートル）。この3つで、リンゴと月がつながる道すじをたどれます。

もう1つは、ボールを使う観察です。広い場所で、人や物に向けないように気をつけて、2つのボールを同じ高さから、1つはそっと落とし、もう1つは横へ強く投げます。2人いれば、地面につく音を聞き比べられます。ほぼ同時に聞こえるはずで、横に動く速さがあっても、落ちる速さはほとんど変わらないことが分かります。

月が見えたら、今この瞬間も、約1.4ミリずつ落ちながら進んでいることを思い出してみてください。ニュートンの「月のテスト」は、NASAの教育サイト［3］でも読めます。

手元で確かめるなら、電卓で次を計算する。384400÷6371≒60.3、60.3²≒3636、4.9÷3636≒0.00135（m）。リンゴと月がほぼ同じ引力でつながるという検算を、自分で再現できる。使う数値は、NASAの月と地球のデータ［1］［2］から取る。

観察としては、広い場所で、人や物に向けないよう注意して、同じ高さから2つのボールを、1つはそっと落とし、もう1つは横へ強く投げる。着地音の聞き比べで、水平方向の速さが鉛直方向の落下に影響しないこと（ガリレオが整理した考え方）を確かめられる。ただし、投げ方で空気抵抗や高さに差が出るので、厳密な実験ではない。

資料としては、NASAの「Stargaze」ページ［3］が、ニュートンの月の検算を図つきで読める。arXivの論文「Bringing the Apple to the Moon」［6］は、1666年の計算の細部を扱う。どちらも英語の資料だ。まずは電卓で、月と地球の距離の比を計算してみよう。