ある 学校の じゅぎょうで、先生が たずねました。「正方形は、長方形かな？」

クラスの みんなが「長方形じゃ ないよ」と 答えた、という お話が あります［6］。長方形と 言うと、「長い 四角」を 思いうかべる 人が 多いからだ、と 言われて います。

これは まちがいと 言うより、ふつうの 考えかたです。では、数学では、どう 決めて いるのでしょう。

全員の答えは同じだった

ある授業で、先生が「正方形は長方形ですか」とたずねると、全員が「長方形ではない」と答えた、という報告があります［6］。理由として挙げられているのは、「長方形は長い四角」という見た目のイメージです。

この答えは、まちがいというより自然な感覚です。「長方形」という名前に「長」の字が入っているので、縦と横が同じ長さの形は、別の名前で呼びたくなります。

決めごとを確かめる

では、数学では長方形をどう決めているのでしょうか。見た目のイメージではなく、条件で決めているはずです。次の章で、その条件を見てみます。

授業で「正方形は長方形か」と問うと、全員が「長方形ではない」と答えた、という報告がある。布川和彦の資料は、その背景に「長方形＝長い四角」という概念イメージがあると指摘している［6］。なお同資料は、小学校の図形の定義が中学校の定義とほぼ同じ書き方でも、役割が異なる、という趣旨の指摘もしている。

ここで注意したいのは、この答えが「知識の不足」とは限らないことだ。名前に「長」が入っている以上、見た目から出発して正方形を除く判断は自然である。判断を分けるのは、見た目ではなく、図形をどんな条件で決めているかである。その条件を次に確かめる。

小学校2年の もんだいには、「かどが みんな 直角に なって いる 四角形を 長方形と いいます」と あります［1］。見る ところは、かどだけです。

正方形は、かどが みんな 直角で、へんの 長さも みんな 同じ 四角形です［1］。

つまり、ちがいは「へんの 長さが そろって いるか」だけです。長方形の 向かい合う へんが 同じ 長さに なるのは、かどが 直角だから そう なるのです。

では、正方形は、長方形の きまりを 守って いるでしょうか。

決め手は「4つの角が直角」

小学校2年の練習問題には、4つの角がみな直角になっている四角形を長方形と呼ぶ、という説明があります［1］。正方形は、4つの角が直角で、辺の長さがみな同じ四角形と習います［1］。学習指導要領でも、正方形・長方形・直角三角形は第2学年の図形の内容にあります［3］。

注目したいのは、長方形の条件に「向かい合う辺が等しい」が入っていないことです。向かい合う辺が等しくなるのは、角が直角だから起きる結果で、条件ではありません。

ちがいは、辺がそろうかどうか

長方形が角の条件だけなら、正方形との差は1つだけになります。正方形は、そこに「辺の長さがみな同じ」を足した形です。条件が1つ増える分、正方形のほうが特別な形といえます。

小学校2年向けの練習問題では、4つの角がみな直角の四角形を長方形、4つの角が直角で辺の長さがみな等しい四角形を正方形としている［1］。学習指導要領上も、両者は第2学年の「B 図形」で扱う内容である［3］。ただし定義の文面は教科書ごとに差がありうるので、ここでは一つの教材の例として扱う。

この定義で大事なのは、長方形の条件が「角」だけで、辺の長さを含まない点だ。向かい合う辺が等しいのは、4つの角が直角であることから導かれる性質であり、定義ではない。Britannica Dictionary も、長方形を「2組の平行な辺と4つの直角をもつ四角形」とし、辺の長さを要求していない［5］。

この構造だと、正方形と長方形の差は条件1つ分、つまり「辺がすべて等しい」の有無に尽きる。条件が多いほど、その条件を満たす図形は少なくなる。では、条件を1つ足した正方形は、もとの長方形の条件を満たしたままか。

長方形の きまりは「かどが 4つとも 直角」でした。正方形は、この きまりを ぜんぶ 守って います。

だから、数学の じてんには「正方形は、へんが みんな 同じ 長方形」と 書いて あります［4］。正方形は 長方形の 中の、とくべつな 1つです。

それでも、小2の もんだいには「正方形は 長方形に 入れないで 数えましょう」と 書いて ある ものが あります［2］。おなじ 形を 分けた ほうが、見分けやすい からかも しれません。ほかの 本が みんな そうだとは 言えません。

中学生に なると、四角形の なかまの つながりを べんきょうします［7］。

条件を足した形は、もとの条件を失わない

正方形は4つの角が直角で、辺がみな等しい形です。角が直角という長方形の条件を、すべて満たしています。そのためBritannicaは、正方形を「辺がみな等しい長方形」、つまり長方形の特別な種類と説明しています［4］。

長方形の辞書的な定義（2組の平行な辺と4つの直角）にも、正方形は当てはまります［5］。

小学校の問題では、分けて数える

一方、小2の練習問題には、模様の中の長方形を数えるとき「正方形の数は長方形の数に入れない」という指示を含むものがあります［2］。これはこの教材の指示の例で、すべての教科書や問題がそうだとはいえません。

中学校2年では、平行四辺形を一般的な形、長方形・ひし形・正方形をその特別な場合とみる関係（包摂関係）を学ぶと説明する論文があります［7］。小学校では、まず形を見分ける目を育て、中学校で形どうしの関係を考える、という流れになっているようです。

正方形は長方形の条件（4つの角が直角）をすべて満たし、さらに「辺がすべて等しい」を持つ。したがって数学の立場では、正方形は長方形の部分集合であり、Britannica も「辺がすべて等しい長方形」と明記している［4］。Britannica Dictionary の長方形の定義（2組の平行な辺と4つの直角）にも、正方形は当てはまる［5］。

ところが小学校2年向けの練習問題には、図形の数え上げで「正方形の数は長方形の数に入れない」と指示するものがある［2］。ただしこれは一つの教材の指示で、全教科書がそうだとはいえない。

この差は、どちらかが誤りという話ではない。島根大学のリポジトリにある論文は、中学校2年で平行四辺形を一般、長方形・ひし形・正方形を特殊とみる包摂関係を学ぶと述べている［7］。小学校段階では形を見分け、数え分けることが中心にあり、中学校で形どうしの包含関係へ視点が移る、と読める。先の布川資料の「定義の書き方は同じでも、役割が異なる」という指摘とも合う［6］。

つまり「正方形は長方形か」への答えは、使う場面の約束で変わる。では、長方形と正方形をつなぐ面白い関係はないか。長方形から正方形を切り取る遊びが、その入口になる。

長い 紙から、みじかい ほうの へんと 同じ 長さの 正方形を 切り取ると、のこりは 長方形に なります。

ふつうは、のこりは もとの 紙と ちがう 形です。でも、たて1に 対して よこが だいたい 1.618の 長方形だけは、のこりが もとの 形を ちいさくした ものに なります［9］。これを 黄金長方形と よびます。

切り取る たびに、同じ 形が 出て きます。正方形と 長方形が、ここで つながります。

では、わたしたちが 毎日 使う 紙は、どんな 形でしょうか。

のこりが、もとと同じ形になる長方形

短いほうの辺を1辺とする正方形を長方形から切り取ると、残りは細長い長方形になります。ふつうの長方形では、残りはもとと別の形です。ところが、縦1に対して横が約1.618の長方形（黄金長方形）では、残りがもとと相似な長方形になります［9］。

残った長方形からまた正方形を切り取ると、またもとと相似な形が残ります。長方形から正方形を切り取る、という簡単な遊びが、2つの図形をつなぎます。

A4で試すと、どうなる

身近なA4用紙(210×297mm)で、同じことをしてみます。短い辺と同じ210mmの正方形を切り取ると、残りは210×87mmです。長い辺を短い辺でわると2.41になり、もとの約1.414とは別の形です。A4は黄金長方形ではないということです。では、A4にはどんな特別さがあるのでしょうか。

黄金長方形は、短い辺を1辺とする正方形を切り取ると、残りがもとと相似な長方形になる［9］。比は短辺：長辺＝1：約1.618である。確かめてみる。短辺を1、長辺を1.618とすると、正方形を切り取った残りは、短辺0.618、長辺1だ。1÷0.618は約1.618で、もとの比に戻る。この性質があるので、切り取りを繰り返すと同じ形が小さくなって現れる。

一方、A4用紙（210×297mm）で同じ操作をすると、残りは210×87mmになる。210÷87は約2.41で、もとの比297÷210（約1.414）とは違う。A4は黄金長方形ではない。

ここで、長方形の縦横比という見方が使える。正方形は比が1：1、黄金長方形は約1：1.618、A4は約1：1.414で、同じ「長方形」でも比がまったく違う。では、A4の約1.414にはどんな意味があるのか。

A4の 紙は、たてと よこが 210ミリと 297ミリです。この 長さを わると だいたい 1.414に なります［8］。

この 紙を 半分に おると、148.5ミリと 210ミリの 長方形に なります。210を 148.5で わっても、やっぱり だいたい 1.414です。おった あとも、もとと 同じ 形なのです。

この 形を「はくぎんひ」と よびます。「おうごんひ」(だいたい 1.618)とは ちがう ものです［8］。

A4を 半分に おった 大きさが A5、さらに 半分が A6です。どれも 同じ 形で、コピーで 大きさを かえても 形が かわりません。

半分に折っても、形が変わらない

A4用紙は210×297mmで、縦と横の比は約1：1.414（1：√2）です。この比の長方形は、長い辺を半分に折って2つに分けると、できた長方形ももとと同じ形（相似）になります。この比を白銀比と呼びます［8］。

検算してみます。297÷210は約1.414。半分に折ると148.5×210mmで、210÷148.5も約1.414です。折ったあとも比が変わりません。A4を半分に折るとA5、A5を半分に折るとA6になり、どれも同じ形です。

黄金比とは別の比

白銀比（約1.414）と黄金比（約1.618）は別の数です［8］。黄金長方形は「正方形を切り取ると相似」、白銀長方形は「半分に折ると相似」という、別々の性質をもっています。

日本のA列の用紙は、国際規格ISO 216と同じ寸法です。B列は日本のJISとISOで寸法が異なり、B5はISOが176×250mm、JISが182×257mmです［10］。

A4用紙は210×297mmで、縦横比は約1：√2（約1：1.414）である。縦を1、横をxとして、半分に折った長方形がもとと相似になる条件を式にすると、1：x＝x/2：1。これを解くとx²＝2、つまりx＝√2となる［8］。つまり半分に折って相似になる長方形は、縦横比が1：√2のものに限られる。

検算する。297÷210は約1.414。半分に折った148.5×210mmは、210÷148.5が約1.414で一致する。これを白銀比と呼ぶ。黄金比（約1.618）とは別の比で、黄金長方形が「正方形を切り取る」操作で自己相似になるのに対し、白銀長方形は「半分に折る」操作で自己相似になる［8］［9］。

規格面では、JISのA列用紙（A4など）はISO 216と同じ寸法である。B列は両者で寸法が異なり、B5はISOが176×250mm、JISが182×257mmだ［10］。

長方形と正方形のちがいは辺の長さの条件ひとつだったが、長方形の中でも比で性格が分かれる。最後に、これを自分の手で確かめる方法を挙げる。

コピー用紙が あれば、やってみましょう。はさみは 使いません。

まず、紙の 上の かどを、よこの へんが たての へんに ぴったり 重なるように 三角に おります。三角の さきが たての へんに とどいた ところから 上が 正方形です。その 下は、のこりの 長方形です。

つぎに、A4の 紙を 半分に おって、おった 紙を たてに 立て、もとの 紙の 下の かどに かさねます。じょうぎで もとの 紙の かどと かどを むすぶ 線を ひくと、小さい 紙の かども 線の 上に のります。

家に ある 本や ノートの 大きさも 正方形か 長方形か、見てみましょう。

紙を折って、正方形をつくる

コピー用紙があれば、はさみなしでできます。紙の上の角を、横の辺が縦の辺にぴったり重なるように三角に折ります。三角の先が縦の辺にとどいた位置より上が正方形で、下に残るのが長方形の部分です。長方形から正方形を取ると何が残るか、手で確かめられます。

半分に折っても同じ形か

A4用紙を半分に折り、向きを縦長に直して、もとの紙の左下の角に重ねます。もとの紙の左下と右上の角を定規で結ぶと、小さい紙の右上の角も、ほぼその線の上に来ます。同じ形なら、対角線が一直線になるためです。

手元にB5のノートがあれば、同じ重ね方で試せます。B5を半分に折ったものも、ほぼ同じ形になるか見てみましょう。

原典を読むなら

用紙の比は、お茶の水女子大学の教材データベースにある白銀比・黄金比の資料に載っています。学習指導要領や、Britannicaの項目も出典欄から開けます。

手元の紙で、相似を確かめられる。A4を半分に折り、縦長に直してもとの左下の角へ重ねる。もとの紙の対角線を定規で引くと、小さい紙の右上の角がその線上に来るはずだ（比が1：√2のときだけ起きる）。B5のノートでも試して、誤差の範囲で成り立つか見るとよい。計算では、257÷182は約1.412、250÷176は約1.420で、どちらも1.414に近い。

正方形の作り方は、紙の上の角を斜めに折って、横の辺を縦の辺に重ねる折り方でよい。三角の先が縦の辺にとどいた位置より上が正方形になる。はさみは要らない。

原典は、お茶の水女子大学の教材データベースにある白銀比・黄金比の教材（日本語）、小学校学習指導要領、Britannica の項目である。小学校の定義の文面は長野県教育委員会の練習問題を一例として使ったので、教科書の実際の書き方は手元の教科書で確かめたい。教科書によって、正方形と長方形の扱いが違うかどうかを、自分で調べるのもよい。