赤、青、黄、赤、青、黄…と、3色の 玉を じゅんばんに ならべて いきます。100ばんめの 玉は、なに色でしょうか。

100こ ぜんぶ ならべなくても だいじょうぶです。3つで ひとまわりなので、3つずつ かたまりを つくって いきます。100を 3ずつに わけると、33かたまりで 99こ。のこりは 1こです。

この のこりを、「あまり」と いいます。あまりが 1なら、かたまりの 1つめと おなじ 色です。だから、100ばんめは 赤です。

時計も おなじです。7時の 8時間あとは、15時では なくて 3時ですね。12で ひとまわりして、あまりの 3に なるからです。

赤、青、黄、赤、青、黄…と、3色をくり返して玉を並べます。100番目は何色でしょうか。100個を実際に並べなくても、答えは出せます。

3個で1周するので、100を3で割ります。100÷3は33あまり1です。33回まるごと周ったあと、1つ目の色に戻るので、100番目は赤です。大事なのは「33回」のほうではなく、「あまり1」のほうです。周期がいくつ分かは、答えに関係しません。

時計の針でも、同じ考え方をしています。7時の8時間後は、7+8=15ですが、針は12で一周するので3を指します。これを15≡3（mod 12）と書き、「15と3は、12を法として合同」と読みます［2］。日常の時刻計算は、時間なら12か24、分と秒なら60を法とする合同算術になっている、と説明されています［1］。

この「数そのものではなく、余りだけを考える」という見方を整理したのが、ガウスです。1801年に出版された『整数論研究』が、合同算術の起源とされています［1］。余りの計算そのものはそれ以前からあるので、ガウスが発明したというより、書き方と考え方を整えた人、と受け取るのが安全です。

赤・青・黄を順にくり返して玉を並べる。100番目の色は、100個を実際に並べなくても決まる。周期が3なので、100を3で割ると33余り1となり、33回の周回のあとで周期の1番目の色に戻る。したがって100番目は赤である。答えを決めるのは商の33ではなく、余りの1だけである。

時計の針も同じ構造をもつ。針が7を指すとき、8時間後は7+8=15だが、12で一周するので針は3を指す。これを15≡3（mod 12）と書き、15と3は12を法として合同だという。日常の時刻計算は、時は12または24、分・秒は60を法とする合同算術であり、合同算術の本質は、数そのものではなく剰余だけを考えることにある［1］［2］。

この見方を体系的に整えたのが、ガウスの『整数論研究』（Disquisitiones Arithmeticae）である。1798年に書かれ、1801年に出版された本で、日本語の解説でも合同算術の起源は1801年にさかのぼるとされる［1］。余りを使った計算自体はもっと古くから行われているので、ガウスの貢献は発明ではなく整理と記法にある、と書くのが正確だろう。

では、周期が3のように短い場合だけでなく、現実のカレンダーのように「週」と「年」と「閏年」が重なる周期でも、余りで答えられるのだろうか。

曜日は、7日で ひとまわりします。月、火、水、木、金、土、日の じゅんで、また 月に もどります。

では、今日が 水曜日だと します。100日あとは、なん曜日でしょうか。100を 7ずつに わけると、14かたまりで 98日。のこりは 2日です。水曜日から 2日 すすむので、金曜日です。

1年は 365日です。365を 7ずつに わけると、52かたまりで 364日。あまりは 1日です。だから、ふつうの 年は、1月1日の 曜日が つぎの 年の 1月1日には 1つ すすみます。うるう年は 366日なので、2つ すすみます。

さらに ふしぎな ことが あります。いまの こよみは、400年たつと、曜日まで ぴったり おなじに もどります。400年の 日数が、7で ぴったり わりきれるからです。

曜日は7日で一周します。今日が水曜日だとして、100日後は何曜日でしょうか。100÷7は14あまり2です。14週間ぶんは曜日が元に戻るので、残りの2日だけ進めればよく、水曜日の2日後で金曜日になります。

1年はどうでしょう。平年は365日で、365÷7は52あまり1です。52週と1日なので、誕生日の曜日は、翌年には1つ後ろにずれます。うるう年は366日で52週と2日なので、2つずれます［3］。同じ日付でも曜日が毎年変わるのは、この「あまり1」が積み重なるからです。

ここから、ひとつ面白いことが分かります。グレゴリオ暦では、400年間の日数が146097日です。146097÷7は20871で、ぴったり割り切れます。そのため、曜日まで含めて400年ごとに同じ並びが戻ってくる、と説明されています［3］。つまり、2026年のカレンダーと同じ曜日の並びが、400年おきにやってくる仕組みです。

曜日は7日で循環するので、N日後の曜日はNを7で割った余りの日数だけ進む。今日が水曜日なら100日後は、100＝7×14＋2より2日進んで金曜日である。14週分の周回は結果に影響しない。

この性質は、年をまたぐ計算にもそのまま使える。平年は365日＝7×52＋1なので同じ日付の曜日は1つ進み、うるう年は366日＝7×52＋2なので2つ進む［3］。毎年の曜日のずれは、この余り1または2の積み重ねとして説明がつく。

さらに視野を広げると、グレゴリオ暦は400年間の日数が146097日で、146097÷7＝20871と割り切れるため、曜日まで含めて400年周期の暦になる［3］。閏年の規則（4年ごと、ただし100年ごとは除き、400年ごとは含む）で調整された暦の日数が、たまたま7の倍数になっている点が重要である。年の周期と週の周期は、400年ではじめてそろうことになる。

7日の周期と1年の周期がずれながら重なると、元の並びに戻るまでに長い年数がかかる。周期が重なるとき、全体の周期はどう決まるのか。この問いは、干支の章で再び現れる。その前に、余りがもっと身近な場面で働いている例を見る。

ほんの うらには、978で はじまる 13けたの ばんごうが あります。いちばん うしろの 1つは、ほかの 12この 数から けいさんで きまります。

まず、まえの 12この 数に、左から 1、3、1、3…を じゅんに かけて、ぜんぶ たします。この たし算の こたえを 10で わった あまりを 出し、10から ひきます。それが いちばん うしろの 数です。ただし、あまりが 0の ときは、うしろの 数も 0です。

たとえば、978-4-10-109205 の あとに くる 数を 計算すると、たした 合計は 82です。82を 10で わると あまりは 2。10ひく 2で 8。だから、うしろの 1つは 8に なります。

だれかが 1つ 数を まちがえて うつと、計算した 数が あわなくなります。それで、まちがいに 気づけるのです。ただし、どんな まちがいでも 見つかる わけでは ありません。

書店で本の裏を見ると、978で始まる13桁の番号があります。ISBNと呼ばれるこの番号の最後の1桁（チェックデジット）は、残りの12桁から計算で決められています［6］。

計算の手順はこうです。最後の1桁を除いた12桁に、左から順に1、3、1、3…を掛けて、すべて足します。その和を10で割った余りを、10から引きます。ただし余りが0のときは、最後の桁も0です［6］。

例として、978-4-10-109205の次に来る数を計算します。9×1＋7×3＋8×1＋4×3＋1×1＋0×3＋1×1＋0×3＋9×1＋2×3＋0×1＋5×3＝82。82÷10は8あまり2で、10−2＝8。最後の桁は8です。和の82に8を足すと90で、ちょうど10の倍数になります。

これは、最後の桁にも1を掛けて13桁すべてを足したとき、和が10の倍数になるように最後の桁を選んでいる、ということです。入力された番号で同じ計算をして10の倍数にならなければ、どこかが間違っています。10で割った「余りが0かどうか」だけで、番号の正しさを確かめているのです。ただし、これで見つかるのは主に1桁の打ち間違いで、隣の2桁を入れ替えた間違いなどは、見逃すことがあります。

書籍のISBN-13では、最後の桁は検査用の数字（チェックデジット）である。上位12桁に左から1、3、1、3…を掛けて和をとり、10で割った余りを10から引き、余りが0なら0とする［6］。この規則は、「最後の桁に1を掛けて13桁すべてを足した和が10の倍数になる」ように最後の桁を選ぶことと同じである。

計算例を示す。978-4-10-109205の12桁では、9×1＋7×3＋8×1＋4×3＋1×1＋0×3＋1×1＋0×3＋9×1＋2×3＋0×1＋5×3＝82。82を10で割ると余りは2、10−2＝8で、最後の桁は8となる［6］。13桁すべてで和をとると82＋8＝90で、確かに10の倍数である。

では、なぜ1桁の誤りがかならず見つかるのか。ある桁の数をdだけ誤ると、和は重み（1または3）×dだけ変わる。dは1〜9の範囲で、1も3も10と互いに素なので、重み×dが10の倍数になることはない。したがって、和は10の倍数でなくなり、誤りが検出される。これは規則から導いた計算であり、資料の記述そのものではない。

一方、隣り合う2桁の入れ替えでは、和の変化は重み1と3の差から2×（2桁の差）になり、2桁の差がちょうど5のとき10の倍数になって見逃される。余りの規則には、見つけられる誤りの限界もある。それでも、この限界をふくめて、1桁の誤りを確実に捕まえる、という実用上の性質を、10で割った余りだけで実現している点が面白い。

えとは、ねずみ、うし、とら…の 12ひきだけでは ありません。ほんとうは、「きのえ」「きのと」などの 10この 名前と くみあわせて 使います。

10と 12を くみあわせると 120通りに なりそうです。でも、じっさいは 60通りしか ありません。60ねんで もとに もどるのです。

わけは こうです。1年たつと、10この ほうも 12この ほうも、1つずつ すすみます。だから、1つめどうし、2つめどうし…と、おなじ ならびの 番号どうしで くみに なります。「きのえ」は 1つめ、「ね」も 1つめ。でも「きのえ」と 2つめの「うし」の くみは できません。

だから、くみあわせは 半分の 60通りに なります。60年たつと、うまれた 年と おなじ えとに もどるので、「かんれき」と いって、おいわいを します。「こよみが かえる」という 意味です。

干支は、十干（10種類）と十二支（12種類）の組み合わせです。10×12で120通りありそうですが、実際には60通りしかなく、60年で一周します。可能な組み合わせの半分しか現れない、とされています［4］。

理由は、10と12の最小公倍数が60だからです。1年進むごとに、十干も十二支も1つずつ進みます。10年たつと十干は元に戻りますが、十二支はまだ2つ手前です。12年で十二支が戻るころ、十干は2つ先に進んでいます。両方が同時にそろうのは、10と12の両方で割り切れる最初の数、60年後です。

もうひとつ見方があります。10も12も偶数なので、十干の番号と十二支の番号は、どちらも「偶数番目どうし」か「奇数番目どうし」でしか組になりません。甲子はあっても、甲丑はないのです。だから半分の60通りになります。

60年で元の干支に戻ることから、満60歳（数え年で61歳）を還暦として祝います。「暦が還る」という意味です［5］。

干支は、余りでも計算できます。西暦から3を引いて60で割り、余り（0なら60）を、干支一覧の左端の番号と照らすと分かります［4］。2005年なら、2005−3＝2002、2002÷60の余りは22で、一覧では乙酉です。2026年は、2026−3＝2023、2023÷60の余りは43で、丙午の年にあたります。

干支は十干（10種）と十二支（12種）を組み合わせたもので、60回で一周する。理論上の組み合わせは10×12＝120通りだが、実際に現れるのはその半数で、これは10と12の最小公倍数が60であることによる［4］。

これは、1年ごとに両方が1つずつ進むとき、両者が同時に元の位置に戻るまでの年数が、10と12の最小公倍数に等しいからである。また10も12も偶数なので、十干の番号と十二支の番号は、同じ偶奇どうしでしか組にならない。甲子（きのえね）はあっても、甲丑はないという事実は、この偶奇の条件から説明できる。ここで注意すべきは、10と12は互いに素ではない（最大公約数が2）ことだ。互いに素なら、周期は積（120）になるはずだが、2が共通するため周期は半分の60になる。

この周期が60年であることから、満60歳（数え年61歳）で生まれ年と同じ干支に戻る還暦の祝いが生まれた［5］。

干支は余りで直接計算もできる。西暦年から3を引いて60で割った余り（0なら60）が、干支一覧の左端の数になる［4］。2005年は2002÷60の余り22で乙酉（きのととり）、2026年は2023÷60の余り43で、丙午（ひのえうま）である。なお、検算として、43番目の十干は43を10で割った余り3から、十二支は43を12で割った余り7から求まる。この方法で2005年も2026年も一覧と一致する。

むかしの 中国の 本に、こんな クイズが あります。

「ある 数を 3で わると 2あまり、5で わると 3あまり、7で わると 2あまる。この 数は いくつ？」

こたえは 23です。ためして みましょう。23を 3で わると 7あまり 2。5で わると 4あまり 3。7で わると 3あまり 2。ぜんぶ あいます。

この クイズでは、3と 5と 7で わった あまりの ならびが、3×5×7＝105ごとに くりかえします。だから、23に 105を たしても、ひいても、答えに なります。

数学の歴史には、余りから数を当てるクイズがあります。中国の『孫子算経』の問題です。「ある数を3で割ると2余り、5で割ると3余り、7で割ると2余る。その数は何か」。答えは23です［7］。

確かめてみましょう。23÷3は7あまり2、23÷5は4あまり3、23÷7は3あまり2。すべて合います。

ここで使われているのが、周期の考え方です。3、5、7で割った余りの組は、3×5×7＝105を周期として繰り返します。そのため、見つけた数から105を引き続けると、条件に合う最小の数にたどり着けます。国立国会図書館の資料では、233から105を次々に引くと128、23となり、23が最小の数になる、と説明されています［7］。

日本の和算では「百五減算」と呼ばれました。関孝和は「翦管術」と呼んで一般的な形に整えた、と紹介されています［7］。

『孫子算経』には、「ある数を3で割ると2余り、5で割ると3余り、7で割ると2余る。その数は何か」という問題がある。答えは23である［7］。23＝3×7＋2＝5×4＋3＝7×3＋2であり、3つの条件をすべて満たす。

この問題が解ける本質は、互いに素ないくつかの数で割った余りのパターンが、それらの積を周期として繰り返すことにある。3、5、7は互いに素で、積は105である。ゆえに答えは105おきに現れ、233から105を次々に引くと128、23となり、23が条件を満たす最小の数になる、と国立国会図書館の資料にある［7］。これが中国式剰余定理の考え方である。

ここでも「互いに素」が効いている点が、前の干支との対比になる。10と12は互いに素ではないので、周期は積の120でなく60になった。3、5、7は互いに素なので、周期は積の105になる。同じ「余りの周期」でも、互いに素かどうかで、全体の周期が変わる。

日本の和算では百五減算と呼ばれ、関孝和は翦管術の名で扱った［7］。古い中国の問題が、江戸時代の日本の数学とつながっていた、という点も確かめられる。

おうちの 本を 1さつ えらんで、うらの 13けたの ばんごうを 見て みましょう。いちばん うしろの 1つを かくして、のこりの 12この 数に 1と 3を じゅんに かけて たします。10で わった あまりを 出して 10から ひくと、かくした 数に なるはずです（あまりが 0の ときは 0です）。

もう1つ。じぶんの うまれた 年から 3を ひいて、60で わって みましょう。あまりが、えとの ひょうの 左はしの 数です。

家にある本の裏の13桁の番号で、チェックデジットを計算してみてください。最後の1桁を指で隠し、上位12桁に1と3を交互に掛けて足します。和を10で割った余りを10から引いた数が、隠した数と合えば成功です。もし余りが0なら、最後の桁は0です。

誕生年の干支は、西暦から3を引いて60で割った余りで求められます。干支の一覧表が手元になければ、国立天文台の暦のページなどで照らし合わせると、計算が合っているか確かめられます。

資料を読むなら、国立国会図書館の「日本の数学」のページに、孫子算経の問題が日本語で説明されています［7］。

追試としてできることは3つある。第一に、手元の書籍のISBN-13で、上位12桁に1と3を交互に掛けた和を10で割った余りから、最後の桁を再現する。第二に、自分の生まれ年について、西暦−3を60で割った余りから干支を求め、一覧表と照らす。第三に、1桁だけ書き換えた番号を作り、和が10の倍数でなくなることを確かめる。

資料を読むなら、国立国会図書館の「日本の数学」で、孫子算経の問題と百五減算の解説を日本語で読める［7］。ISBNの規則は、各国のISBN管理機関の公式資料でも確かめられるが、この記事では日本語版Wikipediaの記述に沿って説明した。